电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩV₂ = 30 VR₂ = 12 ΩV₃ = 9 VR₃ = 4 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 2 AV_s = 3 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 36 VV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AV₂ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 Ω

P_R4 = W

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 1.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 51。

R₁ = 4.7 kΩA_v = 51

R_f = kΩ

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.1 V 时，电容未充电。求 t = 50 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.1 VR = 22 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±13 Vt = 50 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 20 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 7.4 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_eq = R₁ + 2.4 = 5 + 2.4 = 7.4 Ω

答案

R_eq = 7.4 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2904 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 10.75 Ω

R₃ + 10.75 = 25.75 Ω

R₂ ∥ 25.75 = 7.203 Ω

R_eq = R₁ + 7.203 = 30 + 7.203 = 37.2 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/37.2 = 0.4032 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.4032·30 = 2.904 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.904/10 = 0.2904 A

答案

I_R2 = 0.2904 A

3.节点分析

答案: I₂ = 2.375 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − (−24))/6 + (V_A − 30)/12 + (V_A − 9)/4 = 0

求 V_A

V_A = ((−24)/6 + 30/12 + 9/4) / (1/6 + 1/12 + 1/4) = 0.75/0.5 = 1.5 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = (30 − V_A)/R₂ = (30 − 1.5)/12 = 2.375 A

答案

I₂ = 2.375 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = 7.655 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 3

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 18)/12 + V_A/3 + (V_A − 3)/15 = 2

V_A·(1/12 + 1/3 + 1/15) = 2 + 18/12 + 3/15 = 3.7

V_A = 3.7/0.4833 = 7.655 V

V_B = 4.655 V

答案

V_A = 7.655 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.9 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 30

25·I₁ − 20·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−30)

−20·I₁ + 32·I₂ = −30

求解

Δ = (25)(32) − (−20)(−20) = 400

I₁ = Δ₁/Δ = 360/400 = 0.9 A

I₂ = Δ₂/Δ = −150/400 = −0.375 A

答案

I₁ = 0.9 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 2.208 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 36

24·I₁ − 4·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 13·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−18)

−3·I₂ + 8·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2152

I₁ = Δ₁/Δ = 3204/2152 = 1.489 A

I₂ = Δ₂/Δ = −144/2152 = −0.06691 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4896/2152 = −2.275 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 2.208 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = −3.689 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+20 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·25/(2+25) = 1.852 Ω

V_A = 9·1.852/(6+1.852) = 2.123 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.123·20/25 = 1.698 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.123 − 1.698)/5 = 0.08491 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 20 ∥ 6.5 = 4.906 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·4.906 = 24.53 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 24.53·1.5/6.5 = 5.66 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (5.66 − 24.53)/5 = −3.774 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.08491 + (−3.774) = −3.689 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: P_R4 = 7.879 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 35 = 12.73 Ω

V_A = 6·12.73/(8+12.73) = 3.684 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.684·25/35 = 2.632 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (2.632 − 0)/25 = 0.1053 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.714 = 15.71 Ω

R_eq = R₄ ∥ 15.71 = 9.649 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·9.649 = 14.47 V

V_A = V_B·5.714/15.71 = 5.263 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (14.47 − 0)/25 = 0.5789 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 5·15.71/40.71 = 1.93 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 1.93·5.714/15.71 = 0.7018 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (1.93 − 5)/25 = −0.1228 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴ = 0.1053 + 0.5789 + (−0.1228) = 0.5614 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 0.5614²·25 = 7.879 W

答案

P_R4 = 7.879 W

把各单独情况下的功率相加会得到 9.034 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.4138 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 15 = 17.4 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·4/(6+4) = 7.2 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 7.2/17.4 = 0.4138 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 12.2 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 2 = 6.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 1.5·4.8 = 9.2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.2 + 1.5·2 = 12.2 V

11.运放电路

答案: R_f = 235 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (51 − 1)·4.7 = 235 kΩ

答案

R_f = 235 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 10.15 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 0.47 µF = 10.34 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.1)/10.34 = 0.2031 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.1)·50/10.34 = 10.15 V

答案

V_out = 10.15 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 3.21 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−5/4.4 = 3.21 V

答案

v_L = 3.21 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5079 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/33 = 0.7273 A

i(∞) = 24/(33 + 20) = 0.4528 A

τ = L/R = 33/53 = 0.6226 ms

i(t) = 0.4528 + (0.7273 − 0.4528)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.4528 + (0.2744)·e^−1/0.6226 = 0.5079 A

答案

i = 0.5079 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

同相放大器的增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th