电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 12 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV_s = 3 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 6 VV₂ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 Ω

I_R3 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 15 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 18 VI_s = 3 AR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 2 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.1 VV₂ = −1.7 VR₁ = 1 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.375 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1.5 AR = 68 ΩL = 220 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 13.2 V？求 t。

V_s = 9 VR = 2.2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.7079 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω

R_eq = R₁ + 5.091 = 3 + 5.091 = 8.091 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8.091 = 1.112 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1.112·3 = 5.663 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.663/8 = 0.7079 A

答案

I_R2 = 0.7079 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.358 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 2.182 Ω

R₃ + 2.182 = 6.182 Ω

R₂ ∥ 6.182 = 1.511 Ω

R_eq = R₁ + 1.511 = 25 + 1.511 = 26.51 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/26.51 = 1.358 A

答案

I_R1 = 1.358 A

3.节点分析

答案: P_Is = 111.6 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 12)/15 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.525·V_A − 0.3333·V_B = 0.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/3 = 5

−0.3333·V_A + 0.4583·V_B = 5

求解

Δ = (0.525)(0.4583) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1295

V_A = Δ₁/Δ = 2.033/0.1295 = 15.7 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.892/0.1295 = 22.33 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 22.33·5 = 111.6 W

答案

P_Is = 111.6 W

4.节点分析

答案: I_R1 = 1.091 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 3

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 30)/15 + V_A/8 + (V_A − 3)/12 = 1.5

V_A·(1/15 + 1/8 + 1/12) = 1.5 + 30/15 + 3/12 = 3.75

V_A = 3.75/0.275 = 13.64 V

V_B = 10.64 V

流过 R₁ 的电流

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 13.64)/15 = 1.091 A

答案

I_R1 = 1.091 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: V_R3 = 5.51 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 6

19·I₁ − 15·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−6)

−15·I₁ + 17·I₂ = −6

求解

Δ = (19)(17) − (−15)(−15) = 98

I₁ = Δ₁/Δ = 12/98 = 0.1224 A

I₂ = Δ₂/Δ = −24/98 = −0.2449 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.3673 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 0.3673·15 = 5.51 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R3 = −1.041 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 10

16·I₁ − 10·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 26·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−15)

−4·I₂ + 14·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4168

I₁ = Δ₁/Δ = 2880/4168 = 0.691 A

I₂ = Δ₂/Δ = 440/4168 = 0.1056 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4340/4168 = −1.041 A

答案

I_R3 = I₃ = −1.041 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 0.873 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+10 = 15 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

V_A = 9·5.217/(3+5.217) = 5.714 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 5.714·10/15 = 3.81 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (5.714 − 0)/8 = 0.7143 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 7.182 = 4.18 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·4.18 = 4.18 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 4.18·2.182/7.182 = 1.27 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (1.27 − 0)/8 = 0.1587 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0.7143 + 0.1587 = 0.873 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 50 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 24 = 7.059 Ω

V_A = 15·7.059/(12+7.059) = 5.556 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.556·20/24 = 4.63 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 5.455 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.455 = 9.455 Ω

R_eq = R₄ ∥ 9.455 = 6.42 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −4·6.42 = −25.68 V

V_A = V_B·5.455/9.455 = −14.81 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5.455 Ω

V_A‴ = V₂·5.455/(20 + 4 + 5.455) = 0.1852·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 5.556 + (−14.81) + 0.1852·V₂ = 0

V₂ = 9.259/0.1852 = 50 V

答案

V₂ = 50 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.1452 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 20 = 24.62 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·6/(20+6) = 4.154 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4.154/(24.62 + 4) = 0.1452 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 28.8 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 5 = 6.714 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.714 + 3·1.714 = 12.86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12.86 + 3·5 = 27.86 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 27.86/(6.714 + 6) = 2.191 A

P_L = I_L²·R_L = 2.191²·6 = 28.8 W

11.运放电路

答案: R_f = 40 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·2 = 40 kΩ

答案

R_f = 40 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.02273 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.1/1 = 0.1 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.7/22 = −0.07727 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.02273 mA

答案

I_f = 0.02273 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.485 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms

求解时间

0.375 = 1.5·e^−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.375)

t = 3.235·ln(4) = 4.485 ms

答案

t = 4.485 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 116.8 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

求解时间

13.2 = 9 + (21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13.2 − 9)/(30 − 9) = 0.2

t = τ·ln((30 − 9)/(13.2 − 9)) = 72.6·ln(5) = 116.8 ms

答案

t = 116.8 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

构成超节点

求解

流过 R₁ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th