电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₃。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩV₂ = 30 VR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

I₃ = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 8 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 ΩV_A = 8 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 5 V、I_s = 6 mA 时，I = 7.2 mA；V_s = 12 V、I_s = 5 mA 时，I = 15.4 mA。求 V_s = 20 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

5 V, 6 mA → 7.2 mA12 V, 5 mA → 15.4 mAV_s = 20 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 36 VI_s = 5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2.5 VR_a = 10 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.8 VV₂ = 1.1 VR₁ = 100 kΩR₂ = 47 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 100 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。求 t = 60 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR = 2.2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 Vt = 60 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.714 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4.5 Ω

R_eq = R₁ + 4.5 = 6 + 4.5 = 10.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10.5 = 1.714 A

答案

I_R1 = 1.714 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2305 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 9.375 Ω

R₃ + 9.375 = 39.38 Ω

R₂ ∥ 39.38 = 13.26 Ω

R_eq = R₁ + 13.26 = 4 + 13.26 = 17.26 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/17.26 = 0.3476 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.3476·4 = 4.61 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.61/20 = 0.2305 A

答案

I_R2 = 0.2305 A

3.节点分析

答案: I₃ = −1.745 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 12)/10 + (V_A − 30)/15 + V_A/5 = 0

求 V_A

V_A = (12/10 + 30/15 + 0/5) / (1/10 + 1/15 + 1/5) = 3.2/0.3667 = 8.727 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₃ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 8.727)/5 = −1.745 A

答案

I₃ = −1.745 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_s = 1.647 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(8 − 9)/2 + 8/15 = (V_B − 8)/2

0.03333 = (V_B − 8)/2 → V_B = 8.067 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (8.067 − 8)/2 + 8.067/5 = 1.647 A

答案

I_s = 1.647 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −2.231 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 6

19·I₁ − 4·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−15)

−4·I₁ + 7·I₂ = −15

求解

Δ = (19)(7) − (−4)(−4) = 117

I₁ = Δ₁/Δ = −18/117 = −0.1538 A

I₂ = Δ₂/Δ = −261/117 = −2.231 A

答案

I₂ = −2.231 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.194 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 6

8·I₁ − 6·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 20·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−6)

−4·I₂ + 14·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1608

I₁ = Δ₁/Δ = 1440/1608 = 0.8955 A

I₂ = Δ₂/Δ = 312/1608 = 0.194 A

I₃ = Δ₃/Δ = −600/1608 = −0.3731 A

答案

I₂ = 0.194 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 24.8 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

5·k₁ + 6·k₂ = 7.2

12·k₁ + 5·k₂ = 15.4

求常数

Δ = (5)(5) − (6)(12) = −47

k₁ = Δ₁/Δ = −56.4/−47 = 1.2

k₂ = Δ₂/Δ = −9.4/−47 = 0.2

k₁ = 1.2 mA/V, k₂ = 0.2

预测新的电流

I = 1.2·20 + 0.2·4 = 24.8 mA

答案

I = 24.8 mA

8.叠加定理

答案: V₂ = 24.67 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 17 = 6.296 Ω

V_A = 10·6.296/(15+6.296) = 2.957 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.957·12/17 = 2.087 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 6 Ω，所以左侧路径为 R₂+6 = 11 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11 = 5.739 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −3·5.739 = −17.22 V

V_A = V_B·6/11 = −9.391 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 6 Ω

V_A‴ = V₂·6/(12 + 5 + 6) = 0.2609·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 2.957 + (−9.391) + 0.2609·V₂ = 0

V₂ = 6.435/0.2609 = 24.67 V

答案

V₂ = 24.67 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.439 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 2 = 7.455 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·12/(10+12) = 3.273 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 3.273/7.455 = 0.439 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = −1.422 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 10 = 11.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20.57 + (−5)·1.714 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + (−5)·10 = −38 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −38/(11.71 + 15) = −1.422 A

11.运放电路

答案: V_out = 0.8333 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2.5·2/(10 + 2) = 0.4167 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.4167·(1 + 2/2) = 0.8333 V

答案

V_out = 0.8333 V

12.运放电路

答案: V_out = 2.431 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.1·100/(2 + 100) = 1.078 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(47/100)·(−1.8) + (1 + 47/100)·1.078 = 0.846 + 1.585 = 2.431 V

答案

V_out = 2.431 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.9078 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0.303 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.303·ln(0.05) = 0.9078 ms

答案

t = 0.9078 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 19.37 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms

v_C(t) = 10 + (24 − 10)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(60) = 10 + (14)·e^−60/149.6 = 19.37 V

答案

v_C = 19.37 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th