电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 6 AV₂ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.9 VV₂ = 0.2 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.4 VV₂ = −0.1 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 10 ms 时的电流 i。

i(0) = 1.5 AR = 20 ΩL = 68 mHt = 10 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3 V 时它必须触发，恰好在开始后 20 ms。已知 R = 10 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 20 msR = 10 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 7.455 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 2 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_eq = R₁ + 5.455 = 2 + 5.455 = 7.455 Ω

答案

R_eq = 7.455 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 7.112 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 1.867 Ω

R₃ + 1.867 = 6.867 Ω

R₂ ∥ 6.867 = 5.112 Ω

R_eq = R₁ + 5.112 = 2 + 5.112 = 7.112 Ω

答案

R_eq = 7.112 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = 0.36 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 10)/20 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.225·V_A − 0.05·V_B = 0.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/20 = (−1)

−0.05·V_A + 0.15·V_B = −1

求解

Δ = (0.225)(0.15) − (−0.05)(−0.05) = 0.03125

V_A = Δ₁/Δ = 0.025/0.03125 = 0.8 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.2/0.03125 = −6.4 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (0.8 − −6.4)/20 = 0.36 A

4.节点分析

答案: V_A = 10.2 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 15)/20 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.3833·V_A − 0.08333·V_B = 0.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 24)/12 = 6

−0.08333·V_A + 0.2333·V_B = 8

求解

Δ = (0.3833)(0.2333) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.0825

V_A = Δ₁/Δ = 0.8417/0.0825 = 10.2 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.129/0.0825 = 37.93 V

答案

V_A = 10.2 V

5.网孔分析

答案: I₂ = 0.119 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 30

32·I₁ − 12·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−10)

−12·I₁ + 15·I₂ = −10

求解

Δ = (32)(15) − (−12)(−12) = 336

I₁ = Δ₁/Δ = 330/336 = 0.9821 A

I₂ = Δ₂/Δ = 40/336 = 0.119 A

答案

I₂ = 0.119 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.6886 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 15

22·I₁ − 2·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 6·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−15)

−2·I₂ + 32·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4008

I₁ = Δ₁/Δ = 2760/4008 = 0.6886 A

I₂ = Δ₂/Δ = 300/4008 = 0.07485 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1860/4008 = −0.4641 A

答案

I₁ = 0.6886 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −0.5941 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+15 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 15·18/(15+18) = 8.182 Ω

V_A = 24·8.182/(15+8.182) = 8.471 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 8.471·15/18 = 7.059 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (8.471 − 24)/15 = −1.035 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 10.5 = 6.176 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·6.176 = 9.265 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 9.265·7.5/10.5 = 6.618 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (6.618 − 0)/15 = 0.4412 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−1.035) + 0.4412 = −0.5941 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 36.4 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 18 = 3.273 Ω

V_A = 6·3.273/(30+3.273) = 0.5902 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.5902·8/18 = 0.2623 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 13.53 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13.53 = 5.027 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −5·5.027 = −25.14 V

V_A = V_B·3.529/13.53 = −6.557 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω

V_A‴ = V₂·3.529/(8 + 10 + 3.529) = 0.1639·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 0.5902 + (−6.557) + 0.1639·V₂ = 0

V₂ = 5.967/0.1639 = 36.4 V

答案

V₂ = 36.4 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.8824 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 8 = 11.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·5/(10+5) = 10 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 10/11.33 = 0.8824 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 58.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 5 = 6.667 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 25 + 5·1.667 = 33.33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 33.33 + 5·5 = 58.33 V

11.运放电路

答案: V_out = −3.74 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.2·22/(10 + 22) = 0.1375 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(1.9 − 0.1375)/10 = (0.1375 − V_out)/22

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (22/10)·(0.2 − 1.9) = −3.74 V

答案

V_out = −3.74 V

12.运放电路

答案: I_f = −0.08965 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.4/4.7 = −0.08511 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.1/22 = −0.004545 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.08965 mA

答案

I_f = −0.08965 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.07921 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e^−10/3.4 = 0.07921 A

答案

i = 0.07921 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 2.183 µF

所需的时间常数

3 = 5·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 3))

τ = 20/0.9163 = 21.83 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 21.83/10 = 2.183 µF

答案

C = 2.183 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流

答案

时间常数

电流的衰减

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th