电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.5·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ωg = 0.5 A/V

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 10 VV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 Ω

V_R2 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

P_R4 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 17 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 22.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 12 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 17 mA2·V₁: I = 22.5 mA−I_s: I = 12 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VI_s = 6 AR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1 VR_a = 1 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 2 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 5 VR = 47 ΩL = 10 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 500 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 220 µFt = 500 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 2 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4.5 Ω

R_eq = R₁ + 4.5 = 3 + 4.5 = 7.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.5 = 2 A

答案

I_R1 = 2 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6335 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 5.357 Ω

R₃ + 5.357 = 9.357 Ω

R₂ ∥ 9.357 = 3.259 Ω

R_eq = R₁ + 3.259 = 6 + 3.259 = 9.259 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9.259 = 0.9721 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.9721·6 = 3.168 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.168/5 = 0.6335 A

答案

I_R2 = 0.6335 A

3.节点分析

答案: V_B = 11 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 18)/3 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.8333·V_A − 0.1667·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/6 = 1

−0.1667·V_A + 0.2333·V_B = 1

求解

Δ = (0.8333)(0.2333) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1667

V_A = Δ₁/Δ = 1.567/0.1667 = 9.4 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.833/0.1667 = 11 V

答案

V_B = 11 V

4.节点分析

答案: V_B = 76.24 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.3667·V_A − 0.1·V_B = 4.8

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.5·V_A

−0.6·V_A + 0.2667·V_B = 0

求解

Δ = (0.3667)(0.2667) − (−0.1)(−0.6) = 0.03778

V_A = Δ₁/Δ = 1.28/0.03778 = 33.88 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.88/0.03778 = 76.24 V

答案

V_B = 76.24 V

5.网孔分析

答案: V_R2 = −1.667 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 10

16·I₁ − 12·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−10)

−12·I₁ + 18·I₂ = −10

求解

Δ = (16)(18) − (−12)(−12) = 144

I₁ = Δ₁/Δ = 60/144 = 0.4167 A

I₂ = Δ₂/Δ = −40/144 = −0.2778 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.2778 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0.2778·6 = −1.667 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.4038 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 15

6·I₁ − 3·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 15·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−9)

−2·I₂ + 8·I₃ = −9

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 624

I₁ = Δ₁/Δ = 1686/624 = 2.702 A

I₂ = Δ₂/Δ = 252/624 = 0.4038 A

I₃ = Δ₃/Δ = −639/624 = −1.024 A

答案

I₂ = 0.4038 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R4 = 58.65 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+5 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

V_A = 24·3.333/(10+3.333) = 6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6·5/20 = 1.5 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (1.5 − 0)/5 = 0.3 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 17.86 = 3.906 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·3.906 = 15.63 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 15.63·2.857/17.86 = 2.5 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (15.63 − 0)/5 = 3.125 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0.3 + 3.125 = 3.425 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 3.425²·5 = 58.65 W

答案

P_R4 = 58.65 W

把各单独情况下的功率相加会得到 49.28 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 8 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 17

2·I₁ + I₂ + I₃ = 22.5

I₁ + I₂ − I₃ = 12

求各贡献

I₁ = 22.5 − 17 = 5.5 mA

I₃ = (17 − 12)/2 = 2.5 mA

I₂ = 17 − 5.5 − 2.5 = 9 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 5.5 + 2.5 = 8 mA

答案

I = 8 mA

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 14.18 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.182 + 12 = 14.18 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 6.849 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.143 + 8 = 15.14 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12.86 + 6·7.143 = 55.71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 55.71 + 6·8 = 103.7 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 103.7/15.14 = 6.849 A

11.运放电路

答案: V_out = 5.625 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·100/(1 + 100) = 0.9901 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.9901·(1 + 22/4.7) = 5.625 V

答案

V_out = 5.625 V

12.运放电路

答案: A_v = −5.106

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/4.7 = −4.681

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/22 = 1.091

总增益

A_v = A₁·A₂ = −4.681·1.091 = −5.106

答案

A_v = −5.106

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.3424 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms

i(∞) = V_s/R = 5/47 = 0.1064 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −0.2128·ln(0.2) = 0.3424 ms

答案

t = 0.3424 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 5.784 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·6.8/(3.3 + 6.8) = 8.079 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·220 = 1496 ms

放电

v_C(t) = 8.079·e^−500/1496 = 5.784 V

答案

v_C = 5.784 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

+ 输入端的电压

同相增益

答案

各级的增益

总增益

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th