电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩV₂ = 24 VR₂ = 20 ΩV₃ = 30 VR₃ = 15 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AV_s = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 6 V、I_s = 2 mA 时，I = 7 mA；V_s = 4 V、I_s = 10 mA 时，I = 9 mA。求 V_s = 10 V、I_s = 8 mA 时的负载电流 I。

6 V, 2 mA → 7 mA4 V, 10 mA → 9 mAV_s = 10 V, I_s = 8 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 4 AV₂ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.3 VR₁ = 22 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.5 VV₂ = −0.3 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 15 Vt = 150 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8184 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 5·27/(5+27) = 4.219 Ω

R_eq = R₁ + 4.219 = 8 + 4.219 = 12.22 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12.22 = 0.8184 A

答案

I_R1 = 0.8184 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 23.26 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 3.407 Ω

R₃ + 3.407 = 18.41 Ω

R₂ ∥ 18.41 = 8.265 Ω

R_eq = R₁ + 8.265 = 15 + 8.265 = 23.26 Ω

答案

R_eq = 23.26 Ω

3.节点分析

答案: I₂ = −1.662 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 12)/10 + (V_A − (−24))/20 + (V_A − 30)/15 = 0

求 V_A

V_A = (12/10 + (−24)/20 + 30/15) / (1/10 + 1/20 + 1/15) = 2/0.2167 = 9.231 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = ((−24) − V_A)/R₂ = ((−24) − 9.231)/20 = −1.662 A

答案

I₂ = −1.662 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_B = 28.6 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 12

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 36)/2 + V_A/25 + (V_A + 12)/3 = 0.5

V_A·(1/2 + 1/25 + 1/3) = 0.5 + 36/2 − 12/3 = 14.5

V_A = 14.5/0.8733 = 16.6 V

V_B = 28.6 V

答案

V_B = 28.6 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.4688 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 30

12·I₁ − 4·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−15)

−4·I₁ + 12·I₂ = −15

求解

Δ = (12)(12) − (−4)(−4) = 128

I₁ = Δ₁/Δ = 300/128 = 2.344 A

I₂ = Δ₂/Δ = −60/128 = −0.4688 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.4688 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 0.3636 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

25·I₁ − 5·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 20·I₂ − 5·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−24)

−5·I₂ + 10·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4125

I₁ = Δ₁/Δ = 1500/4125 = 0.3636 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2400/4125 = −0.5818 A

I₃ = Δ₃/Δ = −11100/4125 = −2.691 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.3636 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 14 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

6·k₁ + 2·k₂ = 7

4·k₁ + 10·k₂ = 9

求常数

Δ = (6)(10) − (2)(4) = 52

k₁ = Δ₁/Δ = 52/52 = 1

k₂ = Δ₂/Δ = 26/52 = 0.5

k₁ = 1 mA/V, k₂ = 0.5

预测新的电流

I = 1·10 + 0.5·8 = 14 mA

答案

I = 14 mA

8.叠加定理

答案: I_R3 = −2.609 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 3 ∥ 11 = 2.357 Ω

V_A = 12·2.357/(30+2.357) = 0.8742 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.8742·5/11 = 0.3974 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 0.8742)/3 = −0.2914 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.727 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.727 = 8.727 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8.727 = 3.179 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·3.179 = 12.72 V

V_A = V_B·2.727/8.727 = 3.974 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 3.974)/3 = −1.325 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 30·3/(30+3) = 2.727 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 15·8.727/13.73 = 9.536 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 9.536·2.727/8.727 = 2.98 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 2.98)/3 = −0.9934 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−0.2914) + (−1.325) + (−0.9934) = −2.609 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.5825 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 8 = 9.429 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·5/(2+5) = 17.14 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 17.14/(9.429 + 20) = 0.5825 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = −53.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 8 = 14 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.5 + (−4)·6 = −21.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −21.5 + (−4)·8 = −53.5 V

11.运放电路

答案: V_out = 0.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.3 V

I = V₋/R₁ = 0.3/22 = 0.01364 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.3 + 0.01364·22 = 0.6 V

答案

V_out = 0.6 V

12.运放电路

答案: V_out = 2.564 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.5/4.7 = −0.1064 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.3/2 = −0.15 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.2564 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −10·(−0.2564) = 2.564 V

答案

V_out = 2.564 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.231 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0.6667 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/0.6667 = 2.231 V

答案

v_L = 2.231 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 19.45 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(150) = 24 + (−9)·e^−150/220 = 19.45 V

答案

v_C = 19.45 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th