电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 6 VI_s = 2 AV_s = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 18 VV₂ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 Ω

V_R2 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AV₂ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VI_s = 4 AR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 2 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.1 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 47 kΩV_in = −0.1 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 10 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。求 t = 300 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 Vt = 300 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.6804 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 20·23/(20+23) = 10.7 Ω

R_eq = R₁ + 10.7 = 4 + 10.7 = 14.7 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14.7 = 0.6804 A

答案

I_R1 = 0.6804 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3094 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 12 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5.091 Ω

R₃ + 5.091 = 25.09 Ω

R₂ ∥ 25.09 = 3.45 Ω

R_eq = R₁ + 3.45 = 30 + 3.45 = 33.45 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/33.45 = 0.3587 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.3587·30 = 1.238 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.238/4 = 0.3094 A

答案

I_R2 = 0.3094 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.9341 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 10)/15 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.4417·V_A − 0.125·V_B = 0.6667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/8 = 2.5

−0.125·V_A + 0.25·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.4417)(0.25) − (−0.125)(−0.125) = 0.09479

V_A = Δ₁/Δ = 0.4792/0.09479 = 5.055 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.187/0.09479 = 12.53 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (5.055 − 12.53)/8 = −0.9341 A

4.节点分析

答案: V_A = 7.29 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 5

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 6)/15 + V_A/4 + (V_A − 5)/25 = 2

V_A·(1/15 + 1/4 + 1/25) = 2 + 6/15 + 5/25 = 2.6

V_A = 2.6/0.3567 = 7.29 V

V_B = 2.29 V

答案

V_A = 7.29 V

5.网孔分析

答案: I₂ = 0.2326 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

14·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−6)

−6·I₁ + 21·I₂ = −6

求解

Δ = (14)(21) − (−6)(−6) = 258

I₁ = Δ₁/Δ = 468/258 = 1.814 A

I₂ = Δ₂/Δ = 60/258 = 0.2326 A

答案

I₂ = 0.2326 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R2 = −2.708 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 18

40·I₁ − 10·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 28·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−15)

−10·I₂ + 14·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10280

I₁ = Δ₁/Δ = 3756/10280 = 0.3654 A

I₂ = Δ₂/Δ = −3480/10280 = −0.3385 A

I₃ = Δ₃/Δ = −13500/10280 = −1.313 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.3385 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0.3385·8 = −2.708 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 0.4818 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+2 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·7/(12+7) = 4.421 Ω

V_A = 12·4.421/(10+4.421) = 3.679 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.679·2/7 = 1.051 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 3.679)/10 = 0.8321 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 10.45 = 1.679 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·1.679 = 6.715 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.715·5.455/10.45 = 3.504 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 3.504)/10 = −0.3504 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0.8321 + (−0.3504) = 0.4818 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = 0.3545 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 20 = 6.667 Ω

V_A = 9·6.667/(8+6.667) = 4.091 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.091·10/20 = 2.045 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (4.091 − 0)/10 = 0.4091 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.444 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.444 = 14.44 Ω

R_eq = R₄ ∥ 14.44 = 5.909 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·5.909 = 8.864 V

V_A = V_B·4.444/14.44 = 2.727 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (2.727 − 0)/10 = 0.2727 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−18)·14.44/24.44 = −10.64 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −10.64·4.444/14.44 = −3.273 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (−3.273 − 0)/10 = −0.3273 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.4091 + 0.2727 + (−0.3273) = 0.3545 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 14.4 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 12 = 14.4 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 3.815 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 30·6/(30+6) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 20 = 25 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + 4·5 = 23 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23 + 4·20 = 103 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 103/(25 + 2) = 3.815 A

11.运放电路

答案: R_f = 40 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·2 = 40 kΩ

答案

R_f = 40 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 11.47 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/4.7 = −4.681

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/2 = 24.5

逐级计算

V₁ = −4.681·(−0.1) = 0.4681 V

V_out = 24.5·0.4681 = 11.47 V

答案

V_out = 11.47 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.6931 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2.4 A

求解时间

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −1·ln(0.5) = 0.6931 ms

答案

t = 0.6931 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 17.58 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(300) = 6 + (18)·e^−300/680 = 17.58 V

答案

v_C = 17.58 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th