电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 3 AV_s = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 2 AV_s = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AV₂ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VI_s = 0.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 100 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.3 VV₂ = 2 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4.7 kΩR₃ = 4.7 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.914 A？求 t。

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 13.86 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3.864 Ω

R_eq = R₁ + 3.864 = 10 + 3.864 = 13.86 Ω

答案

R_eq = 13.86 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.2 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 4.2 Ω

R₃ + 4.2 = 7.2 Ω

R₂ ∥ 7.2 = 4.5 Ω

R_eq = R₁ + 4.5 = 8 + 4.5 = 12.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12.5 = 1.2 A

答案

I_R1 = 1.2 A

3.节点分析

答案: I_x = 3.056 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 10

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/15 + (V_A + 10)/3 = 3

V_A = (3 − 10/3)/(1/15 + 1/3) = −0.8333 V

V_B = −0.8333 + 10 = 9.167 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 9.167/3 = 3.056 A

答案

I_x = 3.056 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = 1.538 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 5

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 10)/30 + V_A/15 + (V_A + 5)/3 = 2

V_A·(1/30 + 1/15 + 1/3) = 2 + 10/30 − 5/3 = 0.6667

V_A = 0.6667/0.4333 = 1.538 V

V_B = 6.538 V

答案

V_A = 1.538 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.6894 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 18

23·I₁ − 8·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−9)

−8·I₁ + 13·I₂ = −9

求解

Δ = (23)(13) − (−8)(−8) = 235

I₁ = Δ₁/Δ = 162/235 = 0.6894 A

I₂ = Δ₂/Δ = −63/235 = −0.2681 A

答案

I₁ = 0.6894 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −2.386 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 12

28·I₁ − 25·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 31·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−30)

−2·I₂ + 12·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2804

I₁ = Δ₁/Δ = 2916/2804 = 1.04 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1920/2804 = 0.6847 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6690/2804 = −2.386 A

答案

I₃ = −2.386 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.8571 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+5 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

V_A = 15·1.818/(5+1.818) = 4 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4·5/20 = 1 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4 − 1)/15 = 0.2 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 1.429 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·5/21.43 = −0.2333·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.2 − 0.2333·I_s = 0

I_s = 0.2/0.2333 = 0.8571 A

答案

I_s = 0.8571 A

8.叠加定理

答案: I_R3 = −0.9208 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 7 = 3.733 Ω

V_A = 12·3.733/(3+3.733) = 6.653 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.653·4/7 = 3.802 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 6.653)/8 = −0.8317 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.182 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.182 = 5.182 Ω

R_eq = R₄ ∥ 5.182 = 2.257 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1.5)·2.257 = −3.386 V

V_A = V_B·2.182/5.182 = −1.426 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − −1.426)/8 = 0.1782 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 9·5.182/9.182 = 5.079 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 5.079·2.182/5.182 = 2.139 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 2.139)/8 = −0.2673 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−0.8317) + 0.1782 + (−0.2673) = −0.9208 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.5 + 12 = 13.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·3/(3+3) = 6 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.737 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·25/(5+25) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 12 = 16.17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 0.5·4.167 = 22.08 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22.08 + 0.5·12 = 28.08 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 28.08/16.17 = 1.737 A

11.运放电路

答案: R_f = 2000 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·100 = 2000 kΩ

答案

R_f = 2000 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 1.664 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2·22/(4.7 + 22) = 1.648 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(4.7/100)·1.3 + (1 + 4.7/100)·1.648 = −0.0611 + 1.725 = 1.664 V

答案

V_out = 1.664 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 5.057 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0.6667 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/1.467 = 5.057 V

答案

v_L = 5.057 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.381 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/22 = 1.091 A

i(∞) = 24/(22 + 15) = 0.6486 A

τ = L/R = 100/37 = 2.703 ms

i(t) = 0.6486 + (1.091 − 0.6486)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.914 − 0.6486)/(1.091 − 0.6486) = 0.6

t = 2.703·ln(1.667) = 1.381 ms

答案

t = 1.381 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th