电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₃。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩV₂ = 18 VR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

I₃ = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 36 VI_s = 2 AV_s = 8 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 3 mA 时，I = 4.15 mA；V_s = 15 V、I_s = 3 mA 时，I = 9.75 mA。求 V_s = 6 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

8 V, 3 mA → 4.15 mA15 V, 3 mA → 9.75 mAV_s = 6 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 3.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 4 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 16.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 3.5 mA2·V₁: I = 4 mA−I_s: I = 16.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 5 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.1 VV₂ = 1.1 VR₁ = 47 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。求 t = 100 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 12 Vt = 100 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.084 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4.118 Ω

R_eq = R₁ + 4.118 = 5 + 4.118 = 9.118 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9.118 = 2.632 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2.632·5 = 10.84 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.84/10 = 1.084 A

答案

I_R2 = 1.084 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 30.27 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 11.14 Ω

R₂ ∥ 11.14 = 5.27 Ω

R_eq = R₁ + 5.27 = 25 + 5.27 = 30.27 Ω

答案

R_eq = 30.27 Ω

3.节点分析

答案: I₃ = −4.545 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 24)/3 + (V_A − 18)/4 + V_A/3 = 0

求 V_A

V_A = (24/3 + 18/4 + 0/3) / (1/3 + 1/4 + 1/3) = 12.5/0.9167 = 13.64 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₃ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 13.64)/3 = −4.545 A

答案

I₃ = −4.545 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_x = 1.091 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 8

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 36)/5 + V_A/10 + (V_A − 8)/4 = 2

V_A·(1/5 + 1/10 + 1/4) = 2 + 36/5 + 8/4 = 11.2

V_A = 11.2/0.55 = 20.36 V

V_B = 12.36 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (36 − 20.36)/5 = 3.127 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 3.127 − 20.36/10 = 1.091 A

答案

I_x = 1.091 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R2 = −2.308 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

11·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−24)

−6·I₁ + 8·I₂ = −24

求解

Δ = (11)(8) − (−6)(−6) = 52

I₁ = Δ₁/Δ = 48/52 = 0.9231 A

I₂ = Δ₂/Δ = −120/52 = −2.308 A

答案

I_R2 = I₂ = −2.308 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.2439 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 15

45·I₁ − 20·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 45·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−12)

−20·I₂ + 23·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 19375

I₁ = Δ₁/Δ = 4725/19375 = 0.2439 A

I₂ = Δ₂/Δ = −3900/19375 = −0.2013 A

I₃ = Δ₃/Δ = −13500/19375 = −0.6968 A

答案

I₁ = 0.2439 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 1.8 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 3·k₂ = 4.15

15·k₁ + 3·k₂ = 9.75

求常数

Δ = (8)(3) − (3)(15) = −21

k₁ = Δ₁/Δ = −16.8/−21 = 0.8

k₂ = Δ₂/Δ = 15.75/−21 = −0.75

k₁ = 0.8 mA/V, k₂ = −0.75

预测新的电流

I = 0.8·6 + (−0.75)·4 = 1.8 mA

答案

I = 1.8 mA

8.叠加定理

答案: I = −6 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 3.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 4

I₁ + I₂ − I₃ = 16.5

求各贡献

I₁ = 4 − 3.5 = 0.5 mA

I₃ = (3.5 − 16.5)/2 = −6.5 mA

I₂ = 3.5 − 0.5 − (−6.5) = 9.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 0.5 + (−6.5) = −6 mA

答案

I = −6 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 2 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 6 = 9 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(4+12) = 18 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 18/9 = 2 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 0.5587 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 30·2/(30+2) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 15 = 16.88 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.125 + (−0.5)·1.875 = 0.1875 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 0.1875 + (−0.5)·15 = −7.313 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −7.313/(16.88 + 5) = −0.3343 A

P_L = I_L²·R_L = −0.3343²·5 = 0.5587 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 2.86 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 100/22 = 4.545

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/4.545 = 2.86 V

答案

V_in,max = 2.86 V

12.运放电路

答案: V_out = −12.61 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.1/47 = 0.0234 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/2 = 0.55 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.5734 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −22·0.5734 = −12.61 V

答案

V_out = −12.61 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5057 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e^−1/1.467 = 0.5057 A

答案

i = 0.5057 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 8.207 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (12 − 6)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(100) = 6 + (6)·e^−100/100 = 8.207 V

答案

v_C = 8.207 V

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电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th