电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 10 VI_s = 5 AV_s = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 6 V、I_s = 2 mA 时，I = 2.2 mA；V_s = 5 V、I_s = 5 mA 时，I = 3.5 mA。求 V_s = 6 V、I_s = 6 mA 时的负载电流 I。

6 V, 2 mA → 2.2 mA5 V, 5 mA → 3.5 mAV_s = 6 V, I_s = 6 mA

I = mA

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 22.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 24.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 3.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 22.5 mA2·V₁: I = 24.5 mA−I_s: I = 3.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求反相输入端的电压 V₋。

V₁ = −1.9 VV₂ = −2.7 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V₋ = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.35 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 1 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 47 kΩV_in = 0.35 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 9.3 V？求 t。

V_s = 24 VR = 4.7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6923 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω

R_eq = R₁ + 1.8 = 6 + 1.8 = 7.8 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7.8 = 0.7692 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.7692·6 = 1.385 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.385/2 = 0.6923 A

答案

I_R2 = 0.6923 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 9.957 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6.667 Ω

R₃ + 6.667 = 10.67 Ω

R₂ ∥ 10.67 = 6.957 Ω

R_eq = R₁ + 6.957 = 3 + 6.957 = 9.957 Ω

答案

R_eq = 9.957 Ω

3.节点分析

答案: I_R1 = 2.908 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 30)/8 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.75·V_A − 0.125·V_B = 3.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/8 = 1.5

−0.125·V_A + 0.225·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.75)(0.225) − (−0.125)(−0.125) = 0.1531

V_A = Δ₁/Δ = 1.031/0.1531 = 6.735 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.594/0.1531 = 10.41 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 6.735)/8 = 2.908 A

4.节点分析

答案: I_x = −4.404 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 12

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 10)/12 + V_A/6 + (V_A − 12)/15 = 5

V_A·(1/12 + 1/6 + 1/15) = 5 + 10/12 + 12/15 = 6.633

V_A = 6.633/0.3167 = 20.95 V

V_B = 8.947 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (10 − 20.95)/12 = −0.9123 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = −0.9123 − 20.95/6 = −4.404 A

答案

I_x = −4.404 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.2708 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

27·I₁ − 15·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−10)

−15·I₁ + 19·I₂ = −10

求解

Δ = (27)(19) − (−15)(−15) = 288

I₁ = Δ₁/Δ = 78/288 = 0.2708 A

I₂ = Δ₂/Δ = −90/288 = −0.3125 A

答案

I₁ = 0.2708 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −0.5118 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 9

15·I₁ − 12·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 32·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−18)

−8·I₂ + 33·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10128

I₁ = Δ₁/Δ = 7200/10128 = 0.7109 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1404/10128 = 0.1386 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5184/10128 = −0.5118 A

答案

I₃ = −0.5118 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 4.2 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

6·k₁ + 2·k₂ = 2.2

5·k₁ + 5·k₂ = 3.5

求常数

Δ = (6)(5) − (2)(5) = 20

k₁ = Δ₁/Δ = 4/20 = 0.2

k₂ = Δ₂/Δ = 10/20 = 0.5

k₁ = 0.2 mA/V, k₂ = 0.5

预测新的电流

I = 0.2·6 + 0.5·6 = 4.2 mA

答案

I = 4.2 mA

8.叠加定理

答案: I = 11.5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 22.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 24.5

I₁ + I₂ − I₃ = 3.5

求各贡献

I₁ = 24.5 − 22.5 = 2 mA

I₃ = (22.5 − 3.5)/2 = 9.5 mA

I₂ = 22.5 − 2 − 9.5 = 11 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 2 + 9.5 = 11.5 mA

答案

I = 11.5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 7.2 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.2 + 2 = 3.2 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·2/(3+2) = 7.2 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = −17 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·30/(15+30) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 8 = 18 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + (−1.5)·10 = −5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −5 + (−1.5)·8 = −17 V

11.运放电路

答案: V₋ = −1.856 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −2.7·22/(10 + 22) = −1.856 V

V₋ = V₊

答案

V₋ = −1.856 V

12.运放电路

答案: V_out = −10.98 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/1 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/22 = 3.136

逐级计算

V₁ = −10·0.35 = −3.5 V

V_out = 3.136·(−3.5) = −10.98 V

答案

V_out = −10.98 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.06725 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/47 = 0.1064 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1064·(1 − e^−1/1) = 0.06725 A

答案

i = 0.06725 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 55.32 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

求解时间

9.3 = 24 + (−21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.3 − 24)/(3 − 24) = 0.7

t = τ·ln((3 − 24)/(9.3 − 24)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms

答案

t = 55.32 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

输入端的电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th