电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AV₂ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 30 VI_s = 5 AV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 36 VI_s = 5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 2 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 1.5 V 时，电容未充电。求 t = 500 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 1.5 VR = 100 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±13 Vt = 500 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.2 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。已知 C = 2.2 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 9 VV_th = 7.2 VT = 1000 msC = 2.2 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.579 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω

R_eq = R₁ + 2.609 = 4 + 2.609 = 6.609 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6.609 = 1.816 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.816·4 = 4.737 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.737/3 = 1.579 A

答案

I_R2 = 1.579 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 6.132 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 2.5 Ω

R₃ + 2.5 = 7.5 Ω

R₂ ∥ 7.5 = 3.871 Ω

R_eq = R₁ + 3.871 = 2 + 3.871 = 5.871 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/5.871 = 6.132 A

答案

I_R1 = 6.132 A

3.节点分析

答案: V_A = 6.632 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 15)/8 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.3583·V_A − 0.06667·V_B = 1.875

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/15 = 1

−0.06667·V_A + 0.1917·V_B = 1

求解

Δ = (0.3583)(0.1917) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.06424

V_A = Δ₁/Δ = 0.426/0.06424 = 6.632 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.4833/0.06424 = 7.524 V

答案

V_A = 6.632 V

4.节点分析

答案: I_R1 = 1.42 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 15)/8 + (V_A − V_B)/25 = 0

0.665·V_A − 0.04·V_B = 1.875

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/25 + (V_B − 12)/4 = 1.5

−0.04·V_A + 0.34·V_B = 4.5

求解

Δ = (0.665)(0.34) − (−0.04)(−0.04) = 0.2245

V_A = Δ₁/Δ = 0.8175/0.2245 = 3.641 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.068/0.2245 = 13.66 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (15 − 3.641)/8 = 1.42 A

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.75 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

12·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−18)

−6·I₁ + 9·I₂ = −18

求解

Δ = (12)(9) − (−6)(−6) = 72

I₁ = Δ₁/Δ = 54/72 = 0.75 A

I₂ = Δ₂/Δ = −108/72 = −1.5 A

答案

I₁ = 0.75 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.3506 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 9

22·I₁ − 20·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 42·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−12)

−20·I₂ + 23·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3252

I₁ = Δ₁/Δ = 294/3252 = 0.09041 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1140/3252 = −0.3506 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2688/3252 = −0.8266 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.3506 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.3 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+15 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω

V_A = 9·2.679/(3+2.679) = 4.245 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.245·15/25 = 2.547 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4.245 − 2.547)/10 = 0.1698 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 1.5 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·15/26.5 = −0.566·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.1698 − 0.566·I_s = 0

I_s = 0.1698/0.566 = 0.3 A

答案

I_s = 0.3 A

8.叠加定理

答案: I_R3 = −5.251 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 35 = 1.892 Ω

V_A = 30·1.892/(8+1.892) = 5.738 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.738·20/35 = 3.279 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 5.738)/2 = −2.869 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.6 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.6 = 16.6 Ω

R_eq = R₄ ∥ 16.6 = 9.071 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·9.071 = 45.36 V

V_A = V_B·1.6/16.6 = 4.372 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 4.372)/2 = −2.186 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 9·16.6/36.6 = 4.082 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4.082·1.6/16.6 = 0.3934 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 0.3934)/2 = −0.1967 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−2.869) + (−2.186) + (−0.1967) = −5.251 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 3.375 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 15 = 22.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·12/(20+12) = 3.375 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 110.8 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·25/(5+25) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 12 = 16.17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 30 + 5·4.167 = 50.83 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 50.83 + 5·12 = 110.8 V

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.26 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 100/2 = 50

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/50 = 0.26 V

答案

V_in,max = 0.26 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.596 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 100 kΩ · 4.7 µF = 470 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −1.5/470 = −0.003191 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −1.5·500/470 = −1.596 V

答案

V_out = −1.596 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4463 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0.6667 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−1/0.6667 = 0.4463 A

答案

i = 0.4463 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 282.4 kΩ

所需的时间常数

7.2 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 7.2))

τ = 1000/1.609 = 621.3 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 621.3/2.2 = 282.4 kΩ

答案

R = 282.4 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数

电流的衰减

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th