电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₅ 两端按图示极性的电压 V_R5。

V₁ = 10 VV₂ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 Ω

V_R5 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 12 VI_s = 0.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.5 VR_a = 47 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.7 V 时，电容未充电。求 t = 200 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.7 VR = 100 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±13 Vt = 200 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.4 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 6.733 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 2 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 8·7/(8+7) = 3.733 Ω

R_eq = R₁ + 3.733 = 3 + 3.733 = 6.733 Ω

答案

R_eq = 6.733 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.269 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 3 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 5.077 Ω

R₃ + 5.077 = 20.08 Ω

R₂ ∥ 20.08 = 8.586 Ω

R_eq = R₁ + 8.586 = 10 + 8.586 = 18.59 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/18.59 = 0.269 A

答案

I_R1 = 0.269 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 1.958 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 18)/5 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.7333·V_A − 0.3333·V_B = 3.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/3 = 1.5

−0.3333·V_A + 0.5833·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.7333)(0.5833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.3167

V_A = Δ₁/Δ = 2.6/0.3167 = 8.211 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.3/0.3167 = 7.263 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (18 − 8.211)/5 = 1.958 A

4.节点分析

答案: V_A = 9.521 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 10)/20 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.5833·V_A − 0.3333·V_B = 0.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/3 + (V_B − 15)/12 = 2.5

−0.3333·V_A + 0.4567·V_B = 3.75

求解

Δ = (0.5833)(0.4567) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1553

V_A = Δ₁/Δ = 1.478/0.1553 = 9.521 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.354/0.1553 = 15.16 V

答案

V_A = 9.521 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = 0.28 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 30

16·I₁ − 6·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−6)

−6·I₁ + 21·I₂ = −6

求解

Δ = (16)(21) − (−6)(−6) = 300

I₁ = Δ₁/Δ = 594/300 = 1.98 A

I₂ = Δ₂/Δ = 84/300 = 0.28 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.28 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R5 = 13.03 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 10

4·I₁ − 2·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 11·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−36)

−4·I₂ + 9·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 296

I₁ = Δ₁/Δ = 542/296 = 1.831 A

I₂ = Δ₂/Δ = −396/296 = −1.338 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1360/296 = −4.595 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 3.257 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 3.257·4 = 13.03 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = −2.634 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+12 = 14 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·14/(3+14) = 2.471 Ω

V_A = 24·2.471/(12+2.471) = 4.098 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.098·12/14 = 3.512 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4.098 − 3.512)/2 = 0.2927 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 4.4 = 3.22 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·3.22 = 12.88 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 12.88·2.4/4.4 = 7.024 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (7.024 − 12.88)/2 = −2.927 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.2927 + (−2.927) = −2.634 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 15 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 20 = 10 Ω

V_A = 5·10/(20+10) = 1.667 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.667·10/20 = 0.8333 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 10 Ω，所以左侧路径为 R₂+10 = 20 Ω

R_eq = R₄ ∥ 20 = 6.667 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·6.667 = −13.33 V

V_A = V_B·10/20 = −6.667 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10 Ω

V_A‴ = V₂·10/(10 + 10 + 10) = 0.3333·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1.667 + (−6.667) + 0.3333·V₂ = 0

V₂ = 5/0.3333 = 15 V

答案

V₂ = 15 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.2483 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·8/(20+8) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 15 = 20.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(20+8) = 5.143 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 5.143/20.71 = 0.2483 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6364 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 2 = 5.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 0.5·3.333 = 3.667 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 3.667 + 0.5·2 = 4.667 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4.667/(5.333 + 2) = 0.6364 A

11.运放电路

答案: V_out = 2.75 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0.5·47/(47 + 47) = 0.25 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.25·(1 + 47/4.7) = 2.75 V

答案

V_out = 2.75 V

12.运放电路

答案: V_out = −11.49 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 100 kΩ · 0.47 µF = 47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.7/47 = −0.05745 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.7·200/47 = −11.49 V

答案

V_out = −11.49 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.609 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

求解时间

0.4 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0.4)

t = 1·ln(5) = 1.609 ms

答案

t = 1.609 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3779 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/33 = 0.7273 A

i(∞) = 24/(33 + 47) = 0.3 A

τ = L/R = 47/80 = 0.5875 ms

i(t) = 0.3 + (0.7273 − 0.3)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.3 + (0.4273)·e^−1/0.5875 = 0.3779 A

答案

i = 0.3779 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th