电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 15 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 2 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩV_A = 2 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 18 VV₂ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 6 VI_s = 2 AV₂ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 9 VI_s = 0.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = −2 VV₂ = 2.5 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.9 VV₂ = 1.8 VR₁ = 100 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 5 VR = 47 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 Vt = 200 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.313 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω

R_eq = R₁ + 2.857 = 20 + 2.857 = 22.86 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/22.86 = 1.313 A

答案

I_R1 = 1.313 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 18.29 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 13.33 Ω

R₃ + 13.33 = 33.33 Ω

R₂ ∥ 33.33 = 14.29 Ω

R_eq = R₁ + 14.29 = 4 + 14.29 = 18.29 Ω

答案

R_eq = 18.29 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 13.73 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 15)/12 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.4583·V_A − 0.125·V_B = 1.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/8 = 2

−0.125·V_A + 0.375·V_B = 2

求解

Δ = (0.4583)(0.375) − (−0.125)(−0.125) = 0.1563

V_A = Δ₁/Δ = 0.7188/0.1563 = 4.6 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.073/0.1563 = 6.867 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 6.867·2 = 13.73 W

答案

P_Is = 13.73 W

4.节点分析

答案: I_s = 0.3417 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(2 − 6)/15 + 2/6 = (V_B − 2)/3

0.06667 = (V_B − 2)/3 → V_B = 2.2 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (2.2 − 2)/3 + 2.2/8 = 0.3417 A

答案

I_s = 0.3417 A

5.网孔分析

答案: V_R3 = 6.96 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

26·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−10)

−6·I₁ + 11·I₂ = −10

求解

Δ = (26)(11) − (−6)(−6) = 250

I₁ = Δ₁/Δ = 138/250 = 0.552 A

I₂ = Δ₂/Δ = −152/250 = −0.608 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 1.16 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 1.16·6 = 6.96 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.9051 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

11·I₁ − 5·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 33·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−15)

−25·I₂ + 35·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4955

I₁ = Δ₁/Δ = 4485/4955 = 0.9051 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2025/4955 = −0.4087 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3570/4955 = −0.7205 A

答案

I₁ = 0.9051 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 0.08209 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+8 = 28 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·28/(12+28) = 8.4 Ω

V_A = 15·8.4/(5+8.4) = 9.403 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.403·8/28 = 2.687 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (9.403 − 2.687)/20 = 0.3358 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 23.53 = 5.97 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·5.97 = 5.97 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 5.97·3.529/23.53 = 0.8955 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (0.8955 − 5.97)/20 = −0.2537 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.3358 + (−0.2537) = 0.08209 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = −0.2749 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 36 = 14.75 Ω

V_A = 6·14.75/(6+14.75) = 4.265 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.265·6/36 = 0.7109 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 4.265)/25 = −0.1706 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.839 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.839 = 34.84 Ω

R_eq = R₄ ∥ 34.84 = 5.118 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·5.118 = 10.24 V

V_A = V_B·4.839/34.84 = 1.422 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 1.422)/25 = −0.05687 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·34.84/40.84 = 8.531 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 8.531·4.839/34.84 = 1.185 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 1.185)/25 = −0.04739 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−0.1706) + (−0.05687) + (−0.04739) = −0.2749 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 4.765 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 3 = 4.765 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = −0.1867 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 15 = 23.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.143 + (−0.5)·8.571 = 0.8571 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 0.8571 + (−0.5)·15 = −6.643 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −6.643/(23.57 + 12) = −0.1867 A

11.运放电路

答案: V_out = 9.9 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.5·22/(10 + 22) = 1.719 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−2 − 1.719)/10 = (1.719 − V_out)/22

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (22/10)·(2.5 − (−2)) = 9.9 V

答案

V_out = 9.9 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.818 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.9/100 = 0.009 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.8/2 = 0.9 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.909 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·0.909 = −1.818 V

答案

V_out = −1.818 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 0.05659 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms

i(∞) = V_s/R = 5/47 = 0.1064 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0.1064² = 0.05659 mJ

答案

W(∞) = 0.05659 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 16.78 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 20 + (12 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(200) = 20 + (−8)·e^−200/220 = 16.78 V

答案

v_C = 16.78 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th