电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

I_s = 1 AV_s = 3 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV_s = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 18 VV₂ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 Ω

V_R4 = V

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 24 VI_s = 4 AV₂ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 25 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 10 VI_s = 6 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 51。

R₁ = 10 kΩA_v = 51

R_f = kΩ

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.2 V 时，电容未充电。求 t = 2 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.2 VR = 1 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±14 Vt = 2 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 10 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 25 ms 时的电感电流 i。

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 33 ΩL = 100 mHt = 25 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5851 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω

R_eq = R₁ + 5.091 = 12 + 5.091 = 17.09 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17.09 = 0.5851 A

答案

I_R1 = 0.5851 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2437 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 2 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 1.556 Ω

R₃ + 1.556 = 26.56 Ω

R₂ ∥ 26.56 = 8.265 Ω

R_eq = R₁ + 8.265 = 20 + 8.265 = 28.27 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/28.27 = 0.3538 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.3538·20 = 2.924 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.924/12 = 0.2437 A

答案

I_R2 = 0.2437 A

3.节点分析

答案: V_B = 4.412 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 3

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/2 + (V_A + 3)/15 = 1

V_A = (1 − 3/15)/(1/2 + 1/15) = 1.412 V

V_B = 1.412 + 3 = 4.412 V

答案

V_B = 4.412 V

4.节点分析

答案: I_x = 0.4482 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 10

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 30)/3 + V_A/25 + (V_A − 10)/8 = 1.5

V_A·(1/3 + 1/25 + 1/8) = 1.5 + 30/3 + 10/8 = 12.75

V_A = 12.75/0.4983 = 25.59 V

V_B = 15.59 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (30 − 25.59)/3 = 1.472 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 1.472 − 25.59/25 = 0.4482 A

答案

I_x = 0.4482 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.7143 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 15

25·I₁ − 15·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−15)

−15·I₁ + 30·I₂ = −15

求解

Δ = (25)(30) − (−15)(−15) = 525

I₁ = Δ₁/Δ = 225/525 = 0.4286 A

I₂ = Δ₂/Δ = −150/525 = −0.2857 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.7143 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R4 = 7.184 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 18

55·I₁ − 25·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 80·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−6)

−25·I₂ + 33·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 90200

I₁ = Δ₁/Δ = 32520/90200 = 0.3605 A

I₂ = Δ₂/Δ = 6600/90200 = 0.07317 A

I₃ = Δ₃/Δ = −11400/90200 = −0.1264 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.2874 A

V_R4 = I_R4·R₄ = 0.2874·25 = 7.184 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.2286 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+15 = 27 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 8·27/(8+27) = 6.171 Ω

V_A = 12·6.171/(20+6.171) = 2.83 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.83·15/27 = 1.572 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.83 − 1.572)/12 = 0.1048 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 5.714 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·15/32.71 = −0.4585·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.1048 − 0.4585·I_s = 0

I_s = 0.1048/0.4585 = 0.2286 A

答案

I_s = 0.2286 A

8.叠加定理

答案: V_R3 = −24.16 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 12 ∥ 28 = 8.4 Ω

V_A = 24·8.4/(3+8.4) = 17.68 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 17.68·25/28 = 15.79 V

V_R3′ = 0 − V_A = 0 − 17.68 = −17.68 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.4 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.4 = 5.4 Ω

R_eq = R₄ ∥ 5.4 = 4.441 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·4.441 = 17.76 V

V_A = V_B·2.4/5.4 = 7.895 V

V_R3″ = 0 − V_A = 0 − 7.895 = −7.895 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−18)·5.4/30.4 = −3.197 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.197·2.4/5.4 = −1.421 V

V_R3‴ = 0 − V_A = 0 − −1.421 = 1.421 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = (−17.68) + (−7.895) + 1.421 = −24.16 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 10.61 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.609 + 8 = 10.61 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 2.731 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 15 = 18.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.333 + 6·3.333 = 28.33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 28.33 + 6·15 = 118.3 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 118.3/(18.33 + 25) = 2.731 A

11.运放电路

答案: R_f = 500 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (51 − 1)·10 = 500 kΩ

答案

R_f = 500 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 9.362 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 1 kΩ · 0.47 µF = 0.47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.2)/0.47 = 4.681 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.2)·2/0.47 = 9.362 V

答案

V_out = 9.362 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 1.384 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0.2727 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−10/6.818 = 1.384 V

答案

v_L = 1.384 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.406 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 15/(10 + 33) = 0.3488 A

i(∞) = 15/10 = 1.5 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1.5 + (0.3488 − 1.5)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(25) = 1.5 + (−1.151)·e^−25/10 = 1.406 A

答案

i = 1.406 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

构成超节点

求解

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th