电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩV₂ = 6 VR₂ = 8 ΩV₃ = 10 VR₃ = 10 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 30 VI_s = 5 AV₂ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 30 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.9 VR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −1.3 VV₂ = 1 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 11.25 V 时它必须触发，恰好在开始后 20 ms。已知 C = 1 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 11.25 VT = 20 msC = 1 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3346 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2.933 Ω

R_eq = R₁ + 2.933 = 15 + 2.933 = 17.93 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/17.93 = 0.3346 A

答案

I_R1 = 0.3346 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 31.21 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 2.667 Ω

R₃ + 2.667 = 27.67 Ω

R₂ ∥ 27.67 = 6.206 Ω

R_eq = R₁ + 6.206 = 25 + 6.206 = 31.21 Ω

答案

R_eq = 31.21 Ω

3.节点分析

答案: I₂ = −0.6974 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 15)/4 + (V_A − 6)/8 + (V_A − 10)/10 = 0

求 V_A

V_A = (15/4 + 6/8 + 10/10) / (1/4 + 1/8 + 1/10) = 5.5/0.475 = 11.58 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = (6 − V_A)/R₂ = (6 − 11.58)/8 = −0.6974 A

答案

I₂ = −0.6974 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = 18.69 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 30)/10 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.3833·V_A − 0.2·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/5 + (V_B − 12)/8 = 5

−0.2·V_A + 0.4917·V_B = 6.5

求解

Δ = (0.3833)(0.4917) − (−0.2)(−0.2) = 0.1485

V_A = Δ₁/Δ = 2.775/0.1485 = 18.69 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.092/0.1485 = 20.82 V

答案

V_A = 18.69 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.75 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

18·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 10·I₂ = −12

求解

Δ = (18)(10) − (−6)(−6) = 144

I₁ = Δ₁/Δ = 108/144 = 0.75 A

I₂ = Δ₂/Δ = −108/144 = −0.75 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.75 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −1.61 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 10

38·I₁ − 30·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 80·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−30)

−20·I₂ + 24·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 36160

I₁ = Δ₁/Δ = −2800/36160 = −0.07743 A

I₂ = Δ₂/Δ = −15600/36160 = −0.4314 A

I₃ = Δ₃/Δ = −58200/36160 = −1.61 A

答案

I₃ = −1.61 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 0.6818 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+8 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

V_A = 18·7.5/(20+7.5) = 4.909 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.909·8/20 = 1.964 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (4.909 − 0)/12 = 0.4091 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 19.5 = 5.673 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·5.673 = 8.509 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 8.509·7.5/19.5 = 3.273 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (3.273 − 0)/12 = 0.2727 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0.4091 + 0.2727 = 0.6818 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 6.667 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 35 = 12.73 Ω

V_A = 5·12.73/(30+12.73) = 1.489 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.489·25/35 = 1.064 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω，所以左侧路径为 R₂+12 = 22 Ω

R_eq = R₄ ∥ 22 = 11.7 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −0.5·11.7 = −5.851 V

V_A = V_B·12/22 = −3.191 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω

V_A‴ = V₂·12/(25 + 10 + 12) = 0.2553·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1.489 + (−3.191) + 0.2553·V₂ = 0

V₂ = 1.702/0.2553 = 6.667 V

答案

V₂ = 6.667 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.1111 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 2 = 3.429 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·2/(5+2) = 1.714 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1.714/(3.429 + 12) = 0.1111 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 3.219 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 30 = 34 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 6·4 = 26 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 26 + 6·30 = 206 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 206/(34 + 30) = 3.219 A

11.运放电路

答案: V_out = 5.13 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.9 V

I = V₋/R₁ = 0.9/10 = 0.09 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.9 + 0.09·47 = 5.13 V

答案

V_out = 5.13 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.87 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.3/10 = −0.13 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1/1 = 1 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.87 mA

答案

I_f = 0.87 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 46.05 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0.6 A

求解时间

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −10·ln(0.01) = 46.05 ms

答案

t = 46.05 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 14.43 kΩ

所需的时间常数

11.25 = 15·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(15/(15 − 11.25))

τ = 20/1.386 = 14.43 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 14.43/1 = 14.43 kΩ

答案

R = 14.43 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

所需的时间常数

电阻

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th