电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AV₂ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 5 VI_s = 1.5 AV₂ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.8 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.2 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 10 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = 0.2 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 9 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 1.133 A？求 t。

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1846 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 15 + 6.667 = 21.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/21.67 = 0.2769 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.2769·15 = 1.846 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.846/10 = 0.1846 A

答案

I_R2 = 0.1846 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.8841 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 12.31 Ω

R₃ + 12.31 = 18.31 Ω

R₂ ∥ 18.31 = 3.283 Ω

R_eq = R₁ + 3.283 = 6 + 3.283 = 9.283 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9.283 = 1.077 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1.077·6 = 3.536 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.536/4 = 0.8841 A

答案

I_R2 = 0.8841 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.2621 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 18)/10 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.5·V_A − 0.06667·V_B = 1.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/15 = 2

−0.06667·V_A + 0.2667·V_B = 2

求解

Δ = (0.5)(0.2667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.1289

V_A = Δ₁/Δ = 0.6133/0.1289 = 4.759 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.12/0.1289 = 8.69 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (4.759 − 8.69)/15 = −0.2621 A

4.节点分析

答案: V_B = 14.55 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 36)/3 + (V_A − V_B)/2 = 0

1.033·V_A − 0.5·V_B = 12

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 12)/20 = 0.5

−0.5·V_A + 0.7167·V_B = 1.1

求解

Δ = (1.033)(0.7167) − (−0.5)(−0.5) = 0.4906

V_A = Δ₁/Δ = 9.15/0.4906 = 18.65 V

V_B = Δ₂/Δ = 7.137/0.4906 = 14.55 V

答案

V_B = 14.55 V

5.网孔分析

答案: I_R1 = 0.2273 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 10

20·I₁ − 12·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−15)

−12·I₁ + 27·I₂ = −15

求解

Δ = (20)(27) − (−12)(−12) = 396

I₁ = Δ₁/Δ = 90/396 = 0.2273 A

I₂ = Δ₂/Δ = −180/396 = −0.4545 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.2273 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.3655 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 10

34·I₁ − 30·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 48·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−10)

−3·I₂ + 28·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 20190

I₁ = Δ₁/Δ = 12450/20190 = 0.6166 A

I₂ = Δ₂/Δ = 7380/20190 = 0.3655 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6420/20190 = −0.318 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.3655 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.6923 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+20 = 32 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·32/(20+32) = 12.31 Ω

V_A = 18·12.31/(6+12.31) = 12.1 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 12.1·20/32 = 7.563 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (12.1 − 7.563)/12 = 0.3782 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 4.615 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·20/36.62 = −0.5462·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.3782 − 0.5462·I_s = 0

I_s = 0.3782/0.5462 = 0.6923 A

答案

I_s = 0.6923 A

8.叠加定理

答案: P_R3 = 11.39 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 7 = 5.185 Ω

V_A = 5·5.185/(5+5.185) = 2.545 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.545·3/7 = 1.091 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (2.545 − 0)/20 = 0.1273 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4 Ω，所以左侧路径为 R₂+4 = 8 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8 = 2.182 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·2.182 = 3.273 V

V_A = V_B·4/8 = 1.636 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (1.636 − 0)/20 = 0.08182 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·20/(5+20) = 4 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 30·8/11 = 21.82 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 21.82·4/8 = 10.91 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (10.91 − 0)/20 = 0.5455 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 0.1273 + 0.08182 + 0.5455 = 0.7545 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 0.7545²·20 = 11.39 W

答案

P_R3 = 11.39 W

把各单独情况下的功率相加会得到 6.408 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 4 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 10 = 12 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·6/(3+6) = 4 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 40.45 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.818 + 3 = 4.818 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 16.36 + 5·1.818 = 25.45 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 25.45 + 5·3 = 40.45 V

11.运放电路

答案: V_out = 4.545 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.8 V

I = V₋/R₁ = 0.8/4.7 = 0.1702 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.8 + 0.1702·22 = 4.545 V

答案

V_out = 4.545 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.2 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/10 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/2 = 6

逐级计算

V₁ = −1·0.2 = −0.2 V

V_out = 6·(−0.2) = −1.2 V

答案

V_out = −1.2 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.07928 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

i(∞) = V_s/R = 9/100 = 0.09 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.09·(1 − e^−1/0.47) = 0.07928 A

答案

i = 0.07928 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.787 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 20/15 = 1.333 A

i(∞) = 20/(15 + 15) = 0.6667 A

τ = L/R = 150/30 = 5 ms

i(t) = 0.6667 + (1.333 − 0.6667)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (1.133 − 0.6667)/(1.333 − 0.6667) = 0.6995

t = 5·ln(1.43) = 1.787 ms

答案

t = 1.787 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th