电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 12.5 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩV_A = 12.5 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VV₂ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VV₂ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AV₂ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.4 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.4 VR = 22 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 Vt = 5 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 9.8 V？求 t。

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 16.89 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω

R_eq = R₁ + 8.889 = 8 + 8.889 = 16.89 Ω

答案

R_eq = 16.89 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1807 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 1.833 Ω

R₃ + 1.833 = 13.83 Ω

R₂ ∥ 13.83 = 9.468 Ω

R_eq = R₁ + 9.468 = 8 + 9.468 = 17.47 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17.47 = 0.5725 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5725·8 = 5.42 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.42/30 = 0.1807 A

答案

I_R2 = 0.1807 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 1.8 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/10 + (V_A − 30)/5 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.55·V_A − 0.25·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/4 = 4

−0.25·V_A + 0.4167·V_B = 4

求解

Δ = (0.55)(0.4167) − (−0.25)(−0.25) = 0.1667

V_A = Δ₁/Δ = 3.5/0.1667 = 21 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.7/0.1667 = 22.2 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 21)/5 = 1.8 A

4.节点分析

答案: I_s = 0.4531 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(12.5 − 18)/2 + 12.5/8 = (V_B − 12.5)/5

−1.188 = (V_B − 12.5)/5 → V_B = 6.563 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (6.563 − 12.5)/5 + 6.563/4 = 0.4531 A

答案

I_s = 0.4531 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −2 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 18

14·I₁ − 2·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−30)

−2·I₁ + 14·I₂ = −30

求解

Δ = (14)(14) − (−2)(−2) = 192

I₁ = Δ₁/Δ = 192/192 = 1 A

I₂ = Δ₂/Δ = −384/192 = −2 A

答案

I_R2 = I₂ = −2 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.1673 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 9

20·I₁ − 15·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 31·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−15)

−8·I₂ + 13·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3855

I₁ = Δ₁/Δ = 1251/3855 = 0.3245 A

I₂ = Δ₂/Δ = −645/3855 = −0.1673 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4845/3855 = −1.257 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.1673 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 0.8 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+2 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

V_A = 10·7.5/(5+7.5) = 6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6·2/12 = 1 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 6)/5 = 0.8 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 14 = 1.75 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·1.75 = 7 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7·4/14 = 2 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2)/5 = −0.4 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 0.8 + (−0.4) = 0.4 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 0.4²·5 = 0.8 W

答案

P_R1 = 0.8 W

把各单独情况下的功率相加会得到 4 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V_R3 = 13.22 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 50 = 6.897 Ω

V_A = 24·6.897/(6+6.897) = 12.83 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 12.83·20/50 = 5.134 V

V_R3′ = V_A − 0 = 12.83 − 0 = 12.83 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.429 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.429 = 33.43 Ω

R_eq = R₄ ∥ 33.43 = 12.51 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·12.51 = 18.77 V

V_A = V_B·3.429/33.43 = 1.925 V

V_R3″ = V_A − 0 = 1.925 − 0 = 1.925 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−24)·33.43/53.43 = −15.02 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −15.02·3.429/33.43 = −1.54 V

V_R3‴ = V_A − 0 = −1.54 − 0 = −1.54 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 12.83 + 1.925 + (−1.54) = 13.22 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.1818 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 15 = 17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·3/(6+3) = 4 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4/(17 + 5) = 0.1818 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 172.7 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 30 = 32.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9.091 + 5·2.727 = 22.73 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22.73 + 5·30 = 172.7 V

11.运放电路

答案: V_in,max = 2.553 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 4.7/1 = 4.7

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/4.7 = 2.553 V

答案

V_in,max = 2.553 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.479 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 0.22 µF = 4.84 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.4/4.84 = −0.4959 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.4·5/4.84 = −2.479 V

答案

V_out = −2.479 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.402 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0.3191 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.4681·ln(0.05) = 1.402 ms

答案

t = 1.402 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 112.4 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 20 + (3 − 20)·e^−t/τ

求解时间

9.8 = 20 + (−17)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.8 − 20)/(3 − 20) = 0.6

t = τ·ln((3 − 20)/(9.8 − 20)) = 220·ln(1.667) = 112.4 ms

答案

t = 112.4 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th