电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VI_s = 3 AV₂ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VV₂ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 Ω

I_R3 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 吸收的功率 P_R2。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

P_R2 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 18 VI_s = 2 AV₂ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.35 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 1 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 47 kΩV_in = 0.35 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 1.5 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.303 A？求 t。

V_s = 10 VR₁ = 22 ΩR₂ = 20 ΩL = 22 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 18.53 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_eq = R₁ + 3.529 = 15 + 3.529 = 18.53 Ω

答案

R_eq = 18.53 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3141 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 7.742 Ω

R₃ + 7.742 = 22.74 Ω

R₂ ∥ 22.74 = 1.838 Ω

R_eq = R₁ + 1.838 = 30 + 1.838 = 31.84 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/31.84 = 0.3141 A

答案

I_R1 = 0.3141 A

3.节点分析

答案: V_A = 23.53 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 24)/12 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.4·V_A − 0.25·V_B = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/4 = 4

−0.25·V_A + 0.3333·V_B = 4

求解

Δ = (0.4)(0.3333) − (−0.25)(−0.25) = 0.07083

V_A = Δ₁/Δ = 1.667/0.07083 = 23.53 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.1/0.07083 = 29.65 V

答案

V_A = 23.53 V

4.节点分析

答案: I_R2 = −0.09614 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V, V₂ = −10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 24)/6 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.29·V_A − 0.08333·V_B = 4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − (−10))/15 = 3

−0.08333·V_A + 0.19·V_B = 2.333

求解

Δ = (0.29)(0.19) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.04816

V_A = Δ₁/Δ = 0.9544/0.04816 = 19.82 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.01/0.04816 = 20.97 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (19.82 − 20.97)/12 = −0.09614 A

5.网孔分析

答案: I₂ = 0.8889 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 18

28·I₁ − 20·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−6)

−20·I₁ + 22·I₂ = −6

求解

Δ = (28)(22) − (−20)(−20) = 216

I₁ = Δ₁/Δ = 276/216 = 1.278 A

I₂ = Δ₂/Δ = 192/216 = 0.8889 A

答案

I₂ = 0.8889 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R3 = −0.2935 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 9

6·I₁ − 2·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 57·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−6)

−25·I₂ + 27·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 5376

I₁ = Δ₁/Δ = 7926/5376 = 1.474 A

I₂ = Δ₂/Δ = −414/5376 = −0.07701 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1578/5376 = −0.2935 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.2935 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R2 = 16.25 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+4 = 9 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω

V_A = 10·1.636/(2+1.636) = 4.5 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.5·4/9 = 2 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (4.5 − 0)/2 = 2.25 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 6 = 2.4 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·2.4 = 7.2 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.2·1/6 = 1.2 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (1.2 − 0)/2 = 0.6 A

把电流的各个贡献相加

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ = 2.25 + 0.6 = 2.85 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R2 = I_R2²·R₂ = 2.85²·2 = 16.25 W

答案

P_R2 = 16.25 W

把各单独情况下的功率相加会得到 10.85 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: P_R3 = 3.083 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 10 = 6 Ω

V_A = 18·6/(12+6) = 6 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6·8/10 = 4.8 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (6 − 0)/15 = 0.4 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.667 = 8.667 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8.667 = 4.16 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·4.16 = −8.32 V

V_A = V_B·6.667/8.667 = −6.4 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (−6.4 − 0)/15 = −0.4267 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 18·8.667/16.67 = 9.36 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 9.36·6.667/8.667 = 7.2 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (7.2 − 0)/15 = 0.48 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 0.4 + (−0.4267) + 0.48 = 0.4533 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 0.4533²·15 = 3.083 W

答案

P_R3 = 3.083 W

把各单独情况下的功率相加会得到 8.587 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 11.5 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 4 = 11.5 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 26.56 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·4/(4+4) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 20 = 22 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 2.5·2 = 17 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17 + 2.5·20 = 67 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 67/(22 + 4) = 2.577 A

P_L = I_L²·R_L = 2.577²·4 = 26.56 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 2.456 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/10 = 5.7

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/5.7 = 2.456 V

答案

V_in,max = 2.456 V

12.运放电路

答案: V_out = −7 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/1 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/47 = 2

逐级计算

V₁ = −10·0.35 = −3.5 V

V_out = 2·(−3.5) = −7 V

答案

V_out = −7 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.4713 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0.68 ms

求解时间

1.5 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/1.5)

t = 0.68·ln(2) = 0.4713 ms

答案

t = 0.4713 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.6309 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 10/22 = 0.4545 A

i(∞) = 10/(22 + 20) = 0.2381 A

τ = L/R = 22/42 = 0.5238 ms

i(t) = 0.2381 + (0.4545 − 0.2381)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.303 − 0.2381)/(0.4545 − 0.2381) = 0.2999

t = 0.5238·ln(3.335) = 0.6309 ms

答案

t = 0.6309 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th