电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩV₂ = 12 VR₂ = 12 ΩV₃ = 30 VR₃ = 3 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 12 VI_s = 2 AV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 24 VV₂ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

P_R4 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 36 VI_s = 2.5 AV₂ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.3 VR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.3 VV₂ = 1.3 VR₁ = 2 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。求 t = 15 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 2 Vt = 15 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5081 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 4·28/(4+28) = 3.5 Ω

R_eq = R₁ + 3.5 = 12 + 3.5 = 15.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15.5 = 0.5806 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.5806·12 = 2.032 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.032/4 = 0.5081 A

答案

I_R2 = 0.5081 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 12.81 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 3.333 Ω

R₃ + 3.333 = 28.33 Ω

R₂ ∥ 28.33 = 9.808 Ω

R_eq = R₁ + 9.808 = 3 + 9.808 = 12.81 Ω

答案

R_eq = 12.81 Ω

3.节点分析

答案: I₂ = −1.167 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 24)/12 + (V_A − 12)/12 + (V_A − 30)/3 = 0

求 V_A

V_A = (24/12 + 12/12 + 30/3) / (1/12 + 1/12 + 1/3) = 13/0.5 = 26 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = (12 − V_A)/R₂ = (12 − 26)/12 = −1.167 A

答案

I₂ = −1.167 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R4 = −2.046 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 12)/4 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.3733·V_A − 0.08333·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 30)/12 = (−2)

−0.08333·V_A + 0.2333·V_B = 0.5

求解

Δ = (0.3733)(0.2333) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.08017

V_A = Δ₁/Δ = 0.7417/0.08017 = 9.252 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.4367/0.08017 = 5.447 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (5.447 − 30)/12 = −2.046 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 1.133 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 24

17·I₁ − 12·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−6)

−12·I₁ + 20·I₂ = −6

求解

Δ = (17)(20) − (−12)(−12) = 196

I₁ = Δ₁/Δ = 408/196 = 2.082 A

I₂ = Δ₂/Δ = 186/196 = 0.949 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 1.133 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.1696 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

31·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 19·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−5)

−8·I₂ + 18·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7970

I₁ = Δ₁/Δ = 6432/7970 = 0.807 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1352/7970 = 0.1696 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1613/7970 = −0.2024 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.1696 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R4 = 3.404 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+3 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω

V_A = 9·6.429/(10+6.429) = 3.522 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.522·3/18 = 0.587 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (0.587 − 0)/3 = 0.1957 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 20 = 2.609 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2.609 = 2.609 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2.609·5/20 = 0.6522 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (2.609 − 0)/3 = 0.8696 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0.1957 + 0.8696 = 1.065 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 1.065²·3 = 3.404 W

答案

P_R4 = 3.404 W

把各单独情况下的功率相加会得到 2.383 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: P_R3 = 62.21 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 30 = 12 Ω

V_A = 36·12/(10+12) = 19.64 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 19.64·20/30 = 13.09 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (19.64 − 0)/20 = 0.9818 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.667 = 16.67 Ω

R_eq = R₄ ∥ 16.67 = 9.091 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·9.091 = 22.73 V

V_A = V_B·6.667/16.67 = 9.091 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (9.091 − 0)/20 = 0.4545 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 36·16.67/36.67 = 16.36 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 16.36·6.667/16.67 = 6.545 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (6.545 − 0)/20 = 0.3273 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 0.9818 + 0.4545 + 0.3273 = 1.764 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 1.764²·20 = 62.21 W

答案

P_R3 = 62.21 W

把各单独情况下的功率相加会得到 25.55 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.7627 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 8 = 10.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·6/(5+6) = 8.182 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 8.182/10.73 = 0.7627 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 2.515 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.108 + 5 = 13.11 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.757 + 2·8.108 = 22.97 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22.97 + 2·5 = 32.97 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 32.97/13.11 = 2.515 A

11.运放电路

答案: V_out = −7.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.3 V

I = V₋/R₁ = −1.3/2 = −0.65 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.3 + (−0.65)·10 = −7.8 V

答案

V_out = −7.8 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.815 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.3/2 = 0.15 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.3/1 = 1.3 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1.45 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·1.45 = −6.815 V

答案

V_out = −6.815 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3901 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0.5 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.5·(1 − e^−5/3.3) = 0.3901 A

答案

i = 0.3901 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 9.769 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(15) = 12 + (−10)·e^−15/10 = 9.769 V

答案

v_C = 9.769 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th