电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

I_s = 4 AV_s = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 6.5 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 30 ΩV_A = 6.5 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 2 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV₂ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 8 Ω

P_R1 = W

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 4.7 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.5 VV₂ = 0.9 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。求 t = 400 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 2.2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 30 Vt = 400 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4953 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 20·28/(20+28) = 11.67 Ω

R_eq = R₁ + 11.67 = 6 + 11.67 = 17.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/17.67 = 0.8491 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.8491·6 = 9.906 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.906/20 = 0.4953 A

答案

I_R2 = 0.4953 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5222 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 4 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4.118 Ω

R₃ + 4.118 = 10.12 Ω

R₂ ∥ 10.12 = 5.489 Ω

R_eq = R₁ + 5.489 = 6 + 5.489 = 11.49 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11.49 = 0.5222 A

答案

I_R1 = 0.5222 A

3.节点分析

答案: V_A = 4.6 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 9

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/2 + (V_A + 9)/8 = 4

V_A = (4 − 9/8)/(1/2 + 1/8) = 4.6 V

V_B = 4.6 + 9 = 13.6 V

答案

V_A = 4.6 V

4.节点分析

答案: I_s = 1.958 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(6.5 − 9)/10 + 6.5/4 = (V_B − 6.5)/8

1.375 = (V_B − 6.5)/8 → V_B = 17.5 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (17.5 − 6.5)/8 + 17.5/30 = 1.958 A

答案

I_s = 1.958 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −1.125 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 24

20·I₁ − 8·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−24)

−8·I₁ + 16·I₂ = −24

求解

Δ = (20)(16) − (−8)(−8) = 256

I₁ = Δ₁/Δ = 192/256 = 0.75 A

I₂ = Δ₂/Δ = −288/256 = −1.125 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.125 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.628 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 30

42·I₁ − 30·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 38·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−5)

−2·I₂ + 22·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 15144

I₁ = Δ₁/Δ = 24660/15144 = 1.628 A

I₂ = Δ₂/Δ = 19380/15144 = 1.28 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1680/15144 = −0.1109 A

答案

I₁ = 1.628 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = −2.679 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 8+12 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω

V_A = 24·4.615/(4+4.615) = 12.86 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 12.86·12/20 = 7.714 V

I_R2′ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 12.86)/6 = −2.143 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 10.4 = 5.571 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·5.571 = 13.93 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 13.93·2.4/10.4 = 3.214 V

I_R2″ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 3.214)/6 = −0.5357 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = (−2.143) + (−0.5357) = −2.679 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: P_R1 = 4.95 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 20 = 11.11 Ω

V_A = 30·11.11/(15+11.11) = 12.77 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 12.77·8/20 = 5.106 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 12.77)/15 = 1.149 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 9.375 Ω，所以左侧路径为 R₂+9.375 = 21.38 Ω

R_eq = R₄ ∥ 21.38 = 5.821 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·5.821 = 8.732 V

V_A = V_B·9.375/21.38 = 3.83 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 3.83)/15 = −0.2553 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 15·21.38/29.38 = 10.91 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 10.91·9.375/21.38 = 4.787 V

I_R1‴ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 4.787)/15 = −0.3191 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ + I_R1‴ = 1.149 + (−0.2553) + (−0.3191) = 0.5745 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 0.5745²·15 = 4.95 W

答案

P_R1 = 4.95 W

把各单独情况下的功率相加会得到 22.31 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.6316 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 3 = 6.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·5/(10+5) = 4 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 4/6.333 = 0.6316 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 1.473 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 5 = 10.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + 0.5·5.714 = 6.429 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6.429 + 0.5·5 = 8.929 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 8.929/(10.71 + 4) = 0.6068 A

P_L = I_L²·R_L = 0.6068²·4 = 1.473 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.5836 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/4.7 = 22.28

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/22.28 = 0.5836 V

答案

V_in,max = 0.5836 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.1688 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.5/22 = −0.02273 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.9/4.7 = 0.1915 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1688 mA

答案

I_f = 0.1688 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.834 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0.5106 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0.4681 = 2.834 V

答案

v_L = 2.834 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 24.38 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(400) = 20 + (10)·e^−400/484 = 24.38 V

答案

v_C = 24.38 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th