电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ωg = 0.05 A/V

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 18 VV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 36 VV₂ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 8 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = −1 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 4 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −13 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = −1 mA2·V₁: I = 4 mA−I_s: I = −13 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.4 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.35 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 22 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 1 kΩR_f2 = 2 kΩV_in = 0.35 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2.5 AR = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 11 V？求 t。

V_s = 20 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 15.44 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 5·11/(5+11) = 3.438 Ω

R_eq = R₁ + 3.438 = 12 + 3.438 = 15.44 Ω

答案

R_eq = 15.44 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.673 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 5 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 11.11 Ω

R₃ + 11.11 = 26.11 Ω

R₂ ∥ 26.11 = 8.222 Ω

R_eq = R₁ + 8.222 = 3 + 8.222 = 11.22 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11.22 = 2.673 A

答案

I_R1 = 2.673 A

3.节点分析

答案: P_Is = 42.15 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 6)/15 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.2833·V_A − 0.1667·V_B = 0.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/6 = 4

−0.1667·V_A + 0.5·V_B = 4

求解

Δ = (0.2833)(0.5) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1139

V_A = Δ₁/Δ = 0.8667/0.1139 = 7.61 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.2/0.1139 = 10.54 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 10.54·4 = 42.15 W

答案

P_Is = 42.15 W

4.节点分析

答案: V_A = 5.942 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.3167·V_A − 0.06667·V_B = 1.8

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.05·V_A

−0.1167·V_A + 0.5667·V_B = 0

求解

Δ = (0.3167)(0.5667) − (−0.06667)(−0.1167) = 0.1717

V_A = Δ₁/Δ = 1.02/0.1717 = 5.942 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.21/0.1717 = 1.223 V

答案

V_A = 5.942 V

5.网孔分析

答案: V_R3 = 15.6 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 18

6·I₁ − 2·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−30)

−2·I₁ + 4·I₂ = −30

求解

Δ = (6)(4) − (−2)(−2) = 20

I₁ = Δ₁/Δ = 12/20 = 0.6 A

I₂ = Δ₂/Δ = −144/20 = −7.2 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 7.8 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 7.8·2 = 15.6 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −2.124 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 36

24·I₁ − 4·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 16·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−24)

−8·I₂ + 14·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3616

I₁ = Δ₁/Δ = 4992/3616 = 1.381 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2592/3616 = −0.7168 A

I₃ = Δ₃/Δ = −7680/3616 = −2.124 A

答案

I₃ = −2.124 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −5.172 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+15 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·18/(4+18) = 3.273 Ω

V_A = 30·3.273/(2+3.273) = 18.62 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 18.62·15/18 = 15.52 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (18.62 − 30)/2 = −5.69 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 4.333 = 3.362 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3.362 = 3.362 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3.362·1.333/4.333 = 1.034 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (1.034 − 0)/2 = 0.5172 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−5.69) + 0.5172 = −5.172 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I = 11 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = −1

2·I₁ + I₂ + I₃ = 4

I₁ + I₂ − I₃ = −13

求各贡献

I₁ = 4 − (−1) = 5 mA

I₃ = (−1 − (−13))/2 = 6 mA

I₂ = −1 − 5 − 6 = −12 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 5 + 6 = 11 mA

答案

I = 11 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.2717 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 10 = 12.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·5/(6+5) = 4.545 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4.545/(12.73 + 4) = 0.2717 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 15 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1 + 8 = 9 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 1·1 = 7 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7 + 1·8 = 15 V

11.运放电路

答案: V_out = −7.98 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.4 V

I = V₋/R₁ = −1.4/1 = −1.4 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.4 + (−1.4)·4.7 = −7.98 V

答案

V_out = −7.98 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.243 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/22 = −2.136

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/1 = 3

逐级计算

V₁ = −2.136·0.35 = −0.7477 V

V_out = 3·(−0.7477) = −2.243 V

答案

V_out = −2.243 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 18.31 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−5/4.545 = 0.8322 A

v_R = R·i = 22·0.8322 = 18.31 V

答案

v_R = 18.31 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 471.3 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 20 + (2 − 20)·e^−t/τ

求解时间

11 = 20 + (−18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11 − 20)/(2 − 20) = 0.5

t = τ·ln((2 − 20)/(11 − 20)) = 680·ln(2) = 471.3 ms

答案

t = 471.3 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th