电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

I_s = 1.5 AV_s = 8 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VI_s = 2 AV₂ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 24 VV₂ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 2 Ω

I_R4 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.2 VV₂ = 1.9 VR₁ = 47 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 7.143 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_eq = R₁ + 1.818 = 2 + 1.818 = 3.818 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/3.818 = 7.857 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 7.857·2 = 14.29 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14.29/2 = 7.143 A

答案

I_R2 = 7.143 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 4.293 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 1.733 Ω

R₃ + 1.733 = 9.733 Ω

R₂ ∥ 9.733 = 2.293 Ω

R_eq = R₁ + 2.293 = 2 + 2.293 = 4.293 Ω

答案

R_eq = 4.293 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 6.444 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 8

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/12 + (V_A + 8)/15 = 1.5

V_A = (1.5 − 8/15)/(1/12 + 1/15) = 6.444 V

V_B = 6.444 + 8 = 14.44 V

答案

V_A = 6.444 V

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.7708 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/30 + (V_A − 15)/10 + (V_A − V_B)/30 = 0

0.1667·V_A − 0.03333·V_B = 1.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − 5)/15 = (−2)

−0.03333·V_A + 0.1667·V_B = −1.667

求解

Δ = (0.1667)(0.1667) − (−0.03333)(−0.03333) = 0.02667

V_A = Δ₁/Δ = 0.1944/0.02667 = 7.292 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.2278/0.02667 = −8.542 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (15 − 7.292)/10 = 0.7708 A

5.网孔分析

答案: I_R1 = 0.7692 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 15

17·I₁ − 2·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−15)

−2·I₁ + 14·I₂ = −15

求解

Δ = (17)(14) − (−2)(−2) = 234

I₁ = Δ₁/Δ = 180/234 = 0.7692 A

I₂ = Δ₂/Δ = −225/234 = −0.9615 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.7692 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R4 = 0.2929 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 24

40·I₁ − 30·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 37·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−5)

−2·I₂ + 27·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 15500

I₁ = Δ₁/Δ = 23580/15500 = 1.521 A

I₂ = Δ₂/Δ = 19040/15500 = 1.228 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1460/15500 = −0.09419 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.2929 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −0.9368 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+20 = 35 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·35/(6+35) = 5.122 Ω

V_A = 24·5.122/(8+5.122) = 9.368 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.368·20/35 = 5.353 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (9.368 − 24)/8 = −1.829 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 20 ∥ 18.43 = 9.591 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·9.591 = 38.36 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 38.36·3.429/18.43 = 7.138 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (7.138 − 0)/8 = 0.8922 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−1.829) + 0.8922 = −0.9368 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 53.67 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 38 = 3.619 Ω

V_A = 5·3.619/(30+3.619) = 0.5382 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.5382·30/38 = 0.4249 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 11.53 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.53 = 8.329 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·8.329 = −16.66 V

V_A = V_B·3.529/11.53 = −5.099 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω

V_A‴ = V₂·3.529/(30 + 8 + 3.529) = 0.08499·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 0.5382 + (−5.099) + 0.08499·V₂ = 0

V₂ = 4.561/0.08499 = 53.67 V

答案

V₂ = 53.67 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 8.286 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 4 = 8.286 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6279 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.2 + 6 = 7.2 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.6 + 1·1.2 = 4.8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 4.8 + 1·6 = 10.8 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 10.8/(7.2 + 10) = 0.6279 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 2.164 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/22 = 5.545

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/5.545 = 2.164 V

答案

V_in,max = 2.164 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.9394 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.9·10/(10 + 10) = 0.95 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(2/47)·1.2 + (1 + 2/47)·0.95 = −0.05106 + 0.9904 = 0.9394 V

答案

V_out = 0.9394 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.06725 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/47 = 0.1064 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1064·(1 − e^−1/1) = 0.06725 A

答案

i = 0.06725 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.509 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 9/(15 + 5) = 0.45 A

i(∞) = 9/15 = 0.6 A

τ = L/R = 150/15 = 10 ms

i(t) = 0.6 + (0.45 − 0.6)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.6 + (−0.15)·e^−5/10 = 0.509 A

答案

i = 0.509 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

构成超节点

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th