电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 6 VI_s = 2 AV₂ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 15 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 12 V、I_s = 6 mA 时，I = 6 mA；V_s = 15 V、I_s = 2 mA 时，I = 6.4 mA。求 V_s = 15 V、I_s = 5 mA 时的负载电流 I。

12 V, 6 mA → 6 mA15 V, 2 mA → 6.4 mAV_s = 15 V, I_s = 5 mA

I = mA

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 4.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 1.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −13.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 4.5 mA2·V₁: I = 1.5 mA−I_s: I = −13.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3 VR_a = 10 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.7 VV₂ = −0.1 VR₁ = 10 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 4.7 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 10 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 4.4 V？求 t。

V_s = 5 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 22.86 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_eq = R₁ + 2.857 = 20 + 2.857 = 22.86 Ω

答案

R_eq = 22.86 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7636 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 6 Ω

R₃ + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 15 + 8.571 = 23.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/23.57 = 0.7636 A

答案

I_R1 = 0.7636 A

3.节点分析

答案: I_R1 = −0.1837 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 6)/6 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.4833·V_A − 0.06667·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/15 = 5

−0.06667·V_A + 0.15·V_B = 5

求解

Δ = (0.4833)(0.15) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.06806

V_A = Δ₁/Δ = 0.4833/0.06806 = 7.102 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.483/0.06806 = 36.49 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (6 − 7.102)/6 = −0.1837 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.349 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = −36 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/10 + (V_A − 6)/12 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.2333·V_A − 0.05·V_B = 0.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − (−36))/4 = (−2)

−0.05·V_A + 0.3667·V_B = −11

求解

Δ = (0.2333)(0.3667) − (−0.05)(−0.05) = 0.08306

V_A = Δ₁/Δ = −0.3667/0.08306 = −4.415 V

V_B = Δ₂/Δ = −2.542/0.08306 = −30.6 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (−30.6 − −36)/4 = 1.349 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −2.259 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 12

11·I₁ − 6·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−24)

−6·I₁ + 11·I₂ = −24

求解

Δ = (11)(11) − (−6)(−6) = 85

I₁ = Δ₁/Δ = −12/85 = −0.1412 A

I₂ = Δ₂/Δ = −192/85 = −2.259 A

答案

I₂ = −2.259 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.1435 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 24

17·I₁ − 5·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 20·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−18)

−10·I₂ + 20·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4600

I₁ = Δ₁/Δ = 6300/4600 = 1.37 A

I₂ = Δ₂/Δ = −660/4600 = −0.1435 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4470/4600 = −0.9717 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.1435 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 7 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

12·k₁ + 6·k₂ = 6

15·k₁ + 2·k₂ = 6.4

求常数

Δ = (12)(2) − (6)(15) = −66

k₁ = Δ₁/Δ = −26.4/−66 = 0.4

k₂ = Δ₂/Δ = −13.2/−66 = 0.2

k₁ = 0.4 mA/V, k₂ = 0.2

预测新的电流

I = 0.4·15 + 0.2·5 = 7 mA

答案

I = 7 mA

8.叠加定理

答案: I = 6 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 4.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 1.5

I₁ + I₂ − I₃ = −13.5

求各贡献

I₁ = 1.5 − 4.5 = −3 mA

I₃ = (4.5 − (−13.5))/2 = 9 mA

I₂ = 4.5 − (−3) − 9 = −1.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = (−3) + 9 = 6 mA

答案

I = 6 mA

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 5.714 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 4 = 5.714 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 41.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 8 = 11.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + 3·3.333 = 17.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17.5 + 3·8 = 41.5 V

11.运放电路

答案: V_out = 12.25 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3·2/(10 + 2) = 0.5 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.5·(1 + 47/2) = 12.25 V

答案

V_out = 12.25 V

12.运放电路

答案: I_f = −0.07213 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.7/10 = −0.07 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.1/47 = −0.002128 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.07213 mA

答案

I_f = −0.07213 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 37.92 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 5 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

给定时刻的电流

i(t) = 3·(1 − e^−5/2) = 2.754 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·10·2.754² = 37.92 mJ

答案

W = 37.92 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 24.01 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 5 + (4 − 5)·e^−t/τ

求解时间

4.4 = 5 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4.4 − 5)/(4 − 5) = 0.6

t = τ·ln((4 − 5)/(4.4 − 5)) = 47·ln(1.667) = 24.01 ms

答案

t = 24.01 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th