电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 2 AR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.2·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ωg = 0.2 A/V

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VV₂ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 2 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 18 VI_s = 5 AV₂ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 20。

R₁ = 10 kΩA_v = 20

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.6 VV₂ = 1.4 VR₁ = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。求 t = 1000 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 2 Vt = 1000 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4167 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 20 + 4 = 24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/24 = 1.25 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.25·20 = 5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5/12 = 0.4167 A

答案

I_R2 = 0.4167 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 12.32 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 4 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6 Ω

R₃ + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6.316 Ω

R_eq = R₁ + 6.316 = 6 + 6.316 = 12.32 Ω

答案

R_eq = 12.32 Ω

3.节点分析

答案: V_B = 4.953 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 10)/15 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.5167·V_A − 0.2·V_B = 0.6667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/5 = 2

−0.2·V_A + 0.5333·V_B = 2

求解

Δ = (0.5167)(0.5333) − (−0.2)(−0.2) = 0.2356

V_A = Δ₁/Δ = 0.7556/0.2356 = 3.208 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.167/0.2356 = 4.953 V

答案

V_B = 4.953 V

4.节点分析

答案: V_A = 13.71 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.5417·V_A − 0.25·V_B = 4

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.2·V_A

−0.45·V_A + 0.45·V_B = 0

求解

Δ = (0.5417)(0.45) − (−0.25)(−0.45) = 0.1312

V_A = Δ₁/Δ = 1.8/0.1312 = 13.71 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.8/0.1312 = 13.71 V

答案

V_A = 13.71 V

5.网孔分析

答案: I_R3 = 4.091 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 10

6·I₁ − 2·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−30)

−2·I₁ + 8·I₂ = −30

求解

Δ = (6)(8) − (−2)(−2) = 44

I₁ = Δ₁/Δ = 20/44 = 0.4545 A

I₂ = Δ₂/Δ = −160/44 = −3.636 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 4.091 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.1331 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 5

35·I₁ − 10·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 15·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−18)

−2·I₂ + 12·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4960

I₁ = Δ₁/Δ = 520/4960 = 0.1048 A

I₂ = Δ₂/Δ = −660/4960 = −0.1331 A

I₃ = Δ₃/Δ = −7550/4960 = −1.522 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.1331 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = −25.33 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+20 = 24 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·24/(12+24) = 8 Ω

V_A = 30·8/(2+8) = 24 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 24·20/24 = 20 V

V_R2′ = 0 − V_A = 0 − 24 = −24 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 20 ∥ 5.714 = 4.444 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·4.444 = 4.444 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 4.444·1.714/5.714 = 1.333 V

V_R2″ = 0 − V_A = 0 − 1.333 = −1.333 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = (−24) + (−1.333) = −25.33 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: P_R3 = 27 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 12 ∥ 30 = 8.571 Ω

V_A = 18·8.571/(15+8.571) = 6.545 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.545·25/30 = 5.455 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (6.545 − 0)/12 = 0.5455 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.667 = 11.67 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.67 = 7.955 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −5·7.955 = −39.77 V

V_A = V_B·6.667/11.67 = −22.73 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (−22.73 − 0)/12 = −1.894 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−10)·11.67/36.67 = −3.182 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.182·6.667/11.67 = −1.818 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (−1.818 − 0)/12 = −0.1515 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 0.5455 + (−1.894) + (−0.1515) = −1.5 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = (−1.5)²·12 = 27 W

答案

P_R3 = 27 W

把各单独情况下的功率相加会得到 46.89 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.263 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 6 = 12.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·20/(10+20) = 16 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 16/12.67 = 1.263 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 16.56 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 30·2/(30+2) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 4 = 5.875 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.875 + 2.5·1.875 = 6.563 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6.563 + 2.5·4 = 16.56 V

11.运放电路

答案: R_f = 190 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (20 − 1)·10 = 190 kΩ

答案

R_f = 190 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −0.3273 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.6/100 = 0.006 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.4/22 = 0.06364 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.06964 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·0.06964 = −0.3273 V

答案

V_out = −0.3273 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.605 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0.3529 A

求解时间

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −1·ln(0.01) = 4.605 ms

答案

t = 4.605 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 7.057 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(1000) = 10 + (−8)·e^−1000/1000 = 7.057 V

答案

v_C = 7.057 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

同相放大器的增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th