电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AV_s = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 18 VV₂ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

P_R3 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AV₂ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.7 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.2 VV₂ = 1.8 VR₁ = 10 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。已知 C = 100 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 500 msC = 100 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.034 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 3 + 6.667 = 9.667 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9.667 = 1.034 A

答案

I_R1 = 1.034 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.092 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 3.75 Ω

R₃ + 3.75 = 11.75 Ω

R₂ ∥ 11.75 = 7.993 Ω

R_eq = R₁ + 7.993 = 3 + 7.993 = 10.99 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10.99 = 1.092 A

答案

I_R1 = 1.092 A

3.节点分析

答案: P_Is = 6.88 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 15)/2 + (V_A − V_B)/3 = 0

1.083·V_A − 0.3333·V_B = 7.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/3 = 1

−0.3333·V_A + 0.5833·V_B = 1

求解

Δ = (1.083)(0.5833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.5208

V_A = Δ₁/Δ = 4.708/0.5208 = 9.04 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.583/0.5208 = 6.88 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 6.88·1 = 6.88 W

答案

P_Is = 6.88 W

4.节点分析

答案: I_x = −0.359 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 9

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 36)/30 + V_A/8 + (V_A − 9)/6 = 0.5

V_A·(1/30 + 1/8 + 1/6) = 0.5 + 36/30 + 9/6 = 3.2

V_A = 3.2/0.325 = 9.846 V

V_B = 0.8462 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (36 − 9.846)/30 = 0.8718 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 0.8718 − 9.846/8 = −0.359 A

答案

I_x = −0.359 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.886 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 12

12·I₁ − 2·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−24)

−2·I₁ + 12·I₂ = −24

求解

Δ = (12)(12) − (−2)(−2) = 140

I₁ = Δ₁/Δ = 96/140 = 0.6857 A

I₂ = Δ₂/Δ = −264/140 = −1.886 A

答案

I₂ = −1.886 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 0.5724 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 18

35·I₁ − 20·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 32·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−6)

−8·I₂ + 20·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 12160

I₁ = Δ₁/Δ = 9408/12160 = 0.7737 A

I₂ = Δ₂/Δ = 5520/12160 = 0.4539 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1440/12160 = −0.1184 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.5724 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R3 = 3.669 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+10 = 13 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·13/(5+13) = 3.611 Ω

V_A = 6·3.611/(20+3.611) = 0.9176 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 0.9176·10/13 = 0.7059 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (0.9176 − 0.7059)/3 = 0.07059 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 7 = 4.118 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·4.118 = 8.235 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 8.235·4/7 = 4.706 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (4.706 − 8.235)/3 = −1.176 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0.07059 + (−1.176) = −1.106 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = (−1.106)²·3 = 3.669 W

答案

P_R3 = 3.669 W

把各单独情况下的功率相加会得到 4.167 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V_R3 = 4.079 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 40 = 15.38 Ω

V_A = 10·15.38/(8+15.38) = 6.579 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.579·10/40 = 1.645 V

V_R3′ = V_A − 0 = 6.579 − 0 = 6.579 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 6.061 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.061 = 36.06 Ω

R_eq = R₄ ∥ 36.06 = 7.829 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−2.5)·7.829 = −19.57 V

V_A = V_B·6.061/36.06 = −3.289 V

V_R3″ = V_A − 0 = −3.289 − 0 = −3.289 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·25/(8+25) = 6.061 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·36.06/46.06 = 4.697 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4.697·6.061/36.06 = 0.7895 V

V_R3‴ = V_A − 0 = 0.7895 − 0 = 0.7895 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 6.579 + (−3.289) + 0.7895 = 4.079 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 12.31 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·3/(10+3) = 2.308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.308 + 10 = 12.31 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.045 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.5 + 15 = 16.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 0.5·1.5 = 9.75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.75 + 0.5·15 = 17.25 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 17.25/16.5 = 1.045 A

11.运放电路

答案: V_out = −9.657 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.7 V

I = V₋/R₁ = −1.7/4.7 = −0.3617 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.7 + (−0.3617)·22 = −9.657 V

答案

V_out = −9.657 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.3166 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.2/10 = 0.12 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.8/47 = 0.0383 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1583 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·0.1583 = −0.3166 V

答案

V_out = −0.3166 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.207 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0.06 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/1 = 2.207 V

答案

v_L = 2.207 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 5.457 kΩ

所需的时间常数

9 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 9))

τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 545.7/100 = 5.457 kΩ

答案

R = 5.457 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th