电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 18 VI_s = 4 AV₂ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 10 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

P_R4 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 20 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 19.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 3 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 20 mA2·V₁: I = 19.5 mA−I_s: I = 3 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 31。

R₁ = 22 kΩA_v = 31

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.3 VV₂ = 1 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 2 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 220 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.335 A？求 t。

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 33 ΩL = 220 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5354 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 2·19/(2+19) = 1.81 Ω

R_eq = R₁ + 1.81 = 15 + 1.81 = 16.81 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16.81 = 0.5354 A

答案

I_R1 = 0.5354 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 20.32 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 20 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 11.3 Ω

R₃ + 11.3 = 31.3 Ω

R₂ ∥ 31.3 = 15.32 Ω

R_eq = R₁ + 15.32 = 5 + 15.32 = 20.32 Ω

答案

R_eq = 20.32 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 9.231 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 18)/3 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.5833·V_A − 0.08333·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/12 = (−2)

−0.08333·V_A + 0.1667·V_B = −2

求解

Δ = (0.5833)(0.1667) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.09028

V_A = Δ₁/Δ = 0.8333/0.09028 = 9.231 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.6667/0.09028 = −7.385 V

答案

V_A = 9.231 V

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.876 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 18)/8 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.7917·V_A − 0.1667·V_B = 2.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/30 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − 12)/2 = 4

−0.1667·V_A + 0.7·V_B = 10

求解

Δ = (0.7917)(0.7) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.5264

V_A = Δ₁/Δ = 3.242/0.5264 = 6.158 V

V_B = Δ₂/Δ = 8.292/0.5264 = 15.75 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (15.75 − 12)/2 = 1.876 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.154 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 18

7·I₁ − 3·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−12)

−3·I₁ + 5·I₂ = −12

求解

Δ = (7)(5) − (−3)(−3) = 26

I₁ = Δ₁/Δ = 54/26 = 2.077 A

I₂ = Δ₂/Δ = −30/26 = −1.154 A

答案

I₂ = −1.154 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.108 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

11·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 36·I₂ − 15·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−15)

−15·I₂ + 21·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 5085

I₁ = Δ₁/Δ = 11394/5085 = 2.241 A

I₂ = Δ₂/Δ = 549/5085 = 0.108 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3240/5085 = −0.6372 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.108 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R4 = 12.5 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+15 = 17 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·17/(12+17) = 7.034 Ω

V_A = 10·7.034/(12+7.034) = 3.696 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.696·15/17 = 3.261 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (3.261 − 0)/15 = 0.2174 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 8 = 5.217 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·5.217 = 10.43 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 10.43·6/8 = 7.826 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (10.43 − 0)/15 = 0.6957 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0.2174 + 0.6957 = 0.913 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 0.913²·15 = 12.5 W

答案

P_R4 = 12.5 W

把各单独情况下的功率相加会得到 7.968 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 8 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 20

2·I₁ + I₂ + I₃ = 19.5

I₁ + I₂ − I₃ = 3

求各贡献

I₁ = 19.5 − 20 = −0.5 mA

I₃ = (20 − 3)/2 = 8.5 mA

I₂ = 20 − (−0.5) − 8.5 = 12 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = (−0.5) + 8.5 = 8 mA

答案

I = 8 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.2 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 15 = 18.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·6/(10+6) = 3.75 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 3.75/18.75 = 0.2 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 32.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 6 = 10.44 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 16.67 + 1.5·4.444 = 23.33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23.33 + 1.5·6 = 32.33 V

11.运放电路

答案: R_f = 660 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (31 − 1)·22 = 660 kΩ

答案

R_f = 660 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.1093 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.3/4.7 = 0.06383 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1/22 = 0.04545 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1093 mA

答案

I_f = 0.1093 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 5.207 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0.2941 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −3.235·ln(0.2) = 5.207 ms

答案

t = 5.207 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 11.98 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 9/(22 + 33) = 0.1636 A

i(∞) = 9/22 = 0.4091 A

τ = L/R = 220/22 = 10 ms

i(t) = 0.4091 + (0.1636 − 0.4091)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.335 − 0.4091)/(0.1636 − 0.4091) = 0.3019

t = 10·ln(3.313) = 11.98 ms

答案

t = 11.98 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th