电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩV₂ = 10 VR₂ = 12 ΩV₃ = 6 VR₃ = 10 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VI_s = 5 AV₂ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VV₂ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 4 V、I_s = 5 mA 时，I = −0.7 mA；V_s = 8 V、I_s = 1 mA 时，I = 1.3 mA。求 V_s = 2 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

4 V, 5 mA → −0.7 mA8 V, 1 mA → 1.3 mAV_s = 2 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AV₂ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3.5 VR_a = 4.7 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.6 VV₂ = −1.9 VR₁ = 47 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 220 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.2 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 12 VV_th = 7.2 VT = 25 msC = 4.7 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.9583 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4.435 Ω

R_eq = R₁ + 4.435 = 6 + 4.435 = 10.43 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10.43 = 0.9583 A

答案

I_R1 = 0.9583 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.274 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9.375 Ω

R₃ + 9.375 = 15.38 Ω

R₂ ∥ 15.38 = 1.77 Ω

R_eq = R₁ + 1.77 = 10 + 1.77 = 11.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11.77 = 1.274 A

答案

I_R1 = 1.274 A

3.节点分析

答案: I₁ = −0.8711 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − (−10))/15 + (V_A − 10)/12 + (V_A − 6)/10 = 0

求 V_A

V_A = ((−10)/15 + 10/12 + 6/10) / (1/15 + 1/12 + 1/10) = 0.7667/0.25 = 3.067 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = ((−10) − V_A)/R₁ = ((−10) − 3.067)/15 = −0.8711 A

答案

I₁ = −0.8711 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R2 = −0.5055 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = −9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/3 + (V_A − 12)/30 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.6167·V_A − 0.25·V_B = 0.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − (−9))/6 = 5

−0.25·V_A + 0.9167·V_B = 3.5

求解

Δ = (0.6167)(0.9167) − (−0.25)(−0.25) = 0.5028

V_A = Δ₁/Δ = 1.242/0.5028 = 2.47 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.258/0.5028 = 4.492 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (2.47 − 4.492)/4 = −0.5055 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.7636 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 9

30·I₁ − 15·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−30)

−15·I₁ + 35·I₂ = −30

求解

Δ = (30)(35) − (−15)(−15) = 825

I₁ = Δ₁/Δ = −135/825 = −0.1636 A

I₂ = Δ₂/Δ = −765/825 = −0.9273 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.7636 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.699 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

12·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 24·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−5)

−8·I₂ + 23·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 5028

I₁ = Δ₁/Δ = 8544/5028 = 1.699 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2004/5028 = 0.3986 A

I₃ = Δ₃/Δ = −396/5028 = −0.07876 A

答案

I₁ = 1.699 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = −0.8 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

4·k₁ + 5·k₂ = −0.7

8·k₁ + 1·k₂ = 1.3

求常数

Δ = (4)(1) − (5)(8) = −36

k₁ = Δ₁/Δ = −7.2/−36 = 0.2

k₂ = Δ₂/Δ = 10.8/−36 = −0.3

k₁ = 0.2 mA/V, k₂ = −0.3

预测新的电流

I = 0.2·2 + (−0.3)·4 = −0.8 mA

答案

I = −0.8 mA

8.叠加定理

答案: I_R3 = 0.4953 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 30 ∥ 36 = 16.36 Ω

V_A = 18·16.36/(3+16.36) = 15.21 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 15.21·30/36 = 12.68 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (15.21 − 0)/30 = 0.507 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.727 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.727 = 8.727 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8.727 = 6.761 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−0.5)·6.761 = −3.38 V

V_A = V_B·2.727/8.727 = −1.056 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (−1.056 − 0)/30 = −0.03521 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·8.727/38.73 = 2.254 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 2.254·2.727/8.727 = 0.7042 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (0.7042 − 0)/30 = 0.02347 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.507 + (−0.03521) + 0.02347 = 0.4953 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 13.09 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 2 = 7.455 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(10+12) = 13.09 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 6.111 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 3 = 6.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + 5·3.75 = 26.25 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 26.25 + 5·3 = 41.25 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 41.25/6.75 = 6.111 A

11.运放电路

答案: V_out = 4.762 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3.5·10/(4.7 + 10) = 2.381 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 2.381·(1 + 2/2) = 4.762 V

答案

V_out = 4.762 V

12.运放电路

答案: V_out = 2.06 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.6/47 = −0.03404 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.9/4.7 = −0.4043 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.4383 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·(−0.4383) = 2.06 V

答案

V_out = 2.06 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 101.3 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0.5 A

求解时间

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −22·ln(0.01) = 101.3 ms

答案

t = 101.3 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 5.805 kΩ

所需的时间常数

7.2 = 12·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 7.2))

τ = 25/0.9163 = 27.28 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 27.28/4.7 = 5.805 kΩ

答案

R = 5.805 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

所需的时间常数

电阻

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th