电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂w

已知 z₁ = 1.5∠40° 和 z₂ = 4∠45°，求 w = z₁·z₂ 的实部。

z₁ = 1.5∠40°z₂ = 4∠45°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ − 4z² + 6z + 36 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j3。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j3
r =
3.交流阻抗和相量中等
230 V60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
100 V60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 357 W3.5 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 3.5 A 和 357 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 120 VI = 3.5 AP = 357 W
R = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 45 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 45 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 2.2 mHC = 47 nF

在 L = 2.2 mH、C = 47 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 2.2 mHC = 47 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 1 nFr = 5 ΩL = 220 µH

一个并联谐振回路由一个 1 nF 电容器和一个绕组电阻为 5 Ω 的 220 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 220 µHC = 1 nFr = 5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 80 Acos φ = 0.85滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 80 A 的线电流，功率因数为 0.85（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 80 Acos φ = 0.85
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C4.7 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.69 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。 已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 9 VVth = 5.69 VT = 200 msC = 4.7 µF
R = kΩ
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABRL​12 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 2.5 AR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)1101001000−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 10

求 G(s) = 5814/((s + 17)(s + 19)) 在 ω = 10 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 5814/((s + 17)(s + 19))ω = 10 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 136/(s(s + 4))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 136/(s(s + 4))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = 0.5229

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 1.5 · 4 = 6
θ = 40° + 45° = 85°

直角坐标形式

Re(w) = 6·cos(85°) = 0.5229
Im(w) = 6·sin(85°) = 5.977
Re(w) = 0.5229

答案

Re(w) = 0.5229
2.复数

答案: r = −2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 3²) = z² − 6z + 18

提取二次因式

z³ − 4z² + 6z + 36 = (z² − 6z + 18)(z + 2)

实根

r = −2

答案

r = −2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + (−2) = 4 = −(−4)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 3.498 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−64.02)²) = 65.76 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/65.76 = 3.498 A

答案

I = 3.498 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 118 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−101.7)²) = 102.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/102.2 = 0.9784 A

电容电压

VC = I·XC = 0.9784·120.6 = 118 V

答案

VC = 118 V
5.交流功率和功率因数

答案: R = 29.14 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 357/3.5² = 29.14 Ω

答案

R = 29.14 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 118.4 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(41.41°) = 39.69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18.19°) = 14.79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24.9 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(400·0.95) = 118.4 A

答案

Inew = 118.4 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 15.97 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0022·4.7 × 10⁻⁸) = 63.89 µs

四分之一周期

t = T/4 = 15.97 µs

答案

t = 15.97 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 44 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.00022/(1 × 10⁻⁹·5) = 44000 Ω = 44 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 93.81, Q²·r = 44000 Ω

答案

RD = 44 kΩ
9.三相电

答案: P = 56.53 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·80 = 66.51 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 66.51·0.85 = 56.53 kW

答案

P = 56.53 kW
10.三相电

答案: Cph = 903.1 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.7) = 80·1.02 = 81.62 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 65.37 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21791/(314.2·277.1²) = 903.1 µF

答案

Cph = 903.1 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 1.852 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0.2128 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.2128·(1 − e−5/2.128) = 0.1925 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.1925² = 1.852 mJ

答案

W = 1.852 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: R = 42.54 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

5.69 = 9·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 5.69))
τ = 200/1 = 199.9 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 199.9/4.7 = 42.54 kΩ

答案

R = 42.54 kΩ
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 5 = 7.4 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·6/(4+6) = 6 V
14.戴维南和诺顿

答案: IL = −0.3333 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.714 + 8 = 13.71 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 25.71 + (−2.5)·5.714 = 11.43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11.43 + (−2.5)·8 = −8.571 V
Rth​ = 13.71 Ω−+Vth​8.571 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −8.571/(13.71 + 12) = −0.3333 A
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 22.75 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j10)| = 5814/(√(10² + 17²)·√(10² + 19²)) = 5814/(19.72·21.47) = 13.73

结果

20·log₁₀(13.73) = 22.75 dB

答案

|G(jω)| = 22.75 dB
16.伯德图与裕度

答案: PM = 19.45 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 18496 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·18496))/2 = 128.2
ωc = 11.32 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(11.32/4) = −160.5°
PM = 180° + ∠L = 19.45°

答案

PM = 19.45°

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