电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂w

已知 z₁ = 4∠−35° 和 z₂ = 2∠80°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠−35°z₂ = 2∠80°
θ = °
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

用棣莫弗定理求 z = 1 − j 时 z⁹ 的实部。

z = 1 − jn = 9
Re(z⁹) =
3.交流阻抗和相量中等
120 V1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 100 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 100 Ω，L = 100 mH，C = 0.47 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
240 VR + jXP = 504 W3 A

一个感性负载从 240 V（有效值）的单相电源吸取 3 A 和 504 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 240 VI = 3 AP = 504 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 15 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 100 pF+−9 VL = 4.7 mHiL​

一个充电到 15 V 的 100 pF 电容器与一个理想的 4.7 mH 电感振荡。求电容器电压为 9 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 100 pFV0 = 15 VvC = 9 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V22 Ω470 µH47 nF50 mA

一个串联 RLC 电路（R = 22 Ω，L = 470 µH，C = 47 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 50 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 22 ΩL = 470 µHC = 47 nFIm = 50 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 150 Acos φ = 0.82滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 150 A 的线电流，功率因数为 0.82（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 150 Acos φ = 0.82
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 100 Ωt = 0L22 mHi(t)

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.3 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 22 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 V在 t = 0 断开R1​ = 3.3 kΩR2​ = 4.7 kΩi2​C220 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 500 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 9 VR1 = 3.3 kΩR2 = 4.7 kΩC = 220 µFt = 500 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩARL​2 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VIs = 0.5 AR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 8

求 G(s) = 12(s + 9)/(s(s + 11)) 在 ω = 8 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 12(s + 9)/(s(s + 11))ω = 8 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 130/(s(s + 5))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 130/(s(s + 5))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = 45 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 2 = 8
θ = −35° + 80° = 45°

辐角

θ = 45°

答案

θ = 45°
2.复数

答案: Re(z⁹) = 16

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 − j = √2∠−45°

棣莫弗定理

z⁹ = (√2)⁹∠−405° = 22.63∠−45°

直角坐标形式

z⁹ = 22.63·(cos −45° + j sin −45°) = 16 − j16
Re(z⁹) = 16

答案

Re(z⁹) = 16
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 46.84 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (53.32)²) = 73.1 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(53.32/50) = 46.84°

答案

φ = 46.84°
4.交流阻抗和相量

答案: B = 159.2 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.1·0.47·10⁻⁶)) = 734.1 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.1/(0.47·10⁻⁶)) = 4.613

带宽

B = f0/Q = 734.1/4.613 = 159.2 Hz

答案

B = 159.2 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: X = 57.13 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 504/3² = 56 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 240/3 = 80 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(80² − 56²) = 57.13 Ω

答案

X = 57.13 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 39.47 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(36.87°) = 11.25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(18.19°) = 4.93 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6.32 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(400·0.95) = 39.47 A

答案

Inew = 39.47 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 7.2 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻¹⁰·15² = 1.125 × 10⁻⁸ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻¹⁰·9² = 4.05 × 10⁻⁹ J

电感中的能量

WL = 7.2 × 10⁻⁹ J = 7.2 nJ

答案

WL = 7.2 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 812.1 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.00047·0.05² = 5.875 × 10⁻⁷ J

品质因数

Q = (1/22)·√(0.00047/4.7 × 10⁻⁸) = 4.545

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·5.875 × 10⁻⁷/4.545 = 8.121 × 10⁻⁷ J = 812.1 nJ
校核: ½·0.05²·22/33863 = 8.121 × 10⁻⁷ J

答案

Ecycle = 812.1 nJ
9.三相电

答案: P = 88.41 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·150 = 107.8 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 107.8·0.82 = 88.41 kW

答案

P = 88.41 kW
10.三相电

答案: Cph = 675.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.75) = 50·0.8819 = 44.1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 33.94 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11314/(314.2·230.9²) = 675.3 µF

答案

Cph = 675.3 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.5066 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms

求解时间

0.3 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0.3)
t = 0.22·ln(10) = 0.5066 ms

答案

t = 0.5066 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.6937 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 9·4.7/(3.3 + 4.7) = 5.288 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 4.7·220 = 1034 ms

放电

vC(t) = 5.288·e−500/1034 = 3.26 V
i2 = vC/R2 = 3.26/4.7 = 0.6937 mA

答案

i2 = 0.6937 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.4787 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 8 = 11.43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·6/(8+6) = 6.429 V
Rth​ = 11.43 Ω+−Vth​6.429 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 6.429/(11.43 + 2) = 0.4787 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 12.44 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.444 + 4 = 8.444 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16.67 + (−0.5)·4.444 = 14.44 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.44 + (−0.5)·4 = 12.44 V
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −84.39 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(8/9) − 90° − atan(8/11) = 41.63° − 90° − 36.03°

结果

∠G(j8) = −84.39°

答案

∠G(jω) = −84.39°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 10.87 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 25ω² − 16900 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·16900))/2 = 118.1
ωc = 10.87 rad/s

答案

ωc = 10.87 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2