电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

图中显示 z = 2 + j4。已知 w = 2∠180°，点选表示 z·w 的点。

z = 2 + j4w = 2∠180°
  1. 1A (−1 − j2)
  2. 2B (−4 − j8)
  3. 3C (−2 − j4)
  4. 4D (4 + j8)
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 81∠−90° 的根。点选它。

w = 81∠−90°n = 4
  1. 1A (3∠112.5°)
  2. 2B (3∠−67.5°)
  3. 3C (3∠−112.5°)
  4. 4D (5.4∠−112.5°)
3.交流阻抗和相量中等
12 V1000 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
100 V100 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
240 VZ8 + j6 ΩI

一个阻抗为 Z = 8 + j6 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求所需电容 C。

P = 15 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V100 Ω4.7 mH4.7 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 100 Ω，L = 4.7 mH，C = 4.7 nF。求它的品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 4.7 mHC = 4.7 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 10 nFr = 0.5 ΩL = 10 µH

一个并联谐振回路由一个 10 nF 电容器和一个绕组电阻为 0.5 Ω 的 10 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 10 µHC = 10 nFr = 0.5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 30 Acos φ = 0.85滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 30 A 的线电流，功率因数为 0.85（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 30 Acos φ = 0.85
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时的电流 i。

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 VR1​ = 10 ΩR2​ = 22 Ω在 t = 0 闭合L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 1.191 A？求 t。

Vs = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 22 ΩL = 68 mH
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VIs = 5 AR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 4.7 mHR = 10 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 10 Ω, L = 4.7 mH。输入为1.7 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 10 ΩL = 4.7 mHf = 1.7 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 3))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 3))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: B (−4 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 180°

该点

z·w = −4 − j8 → B

答案

B (−4 − j8)
2.复数

答案: C (3∠−112.5°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = −22.5°, 67.5°, 157.5°, −112.5°

该点

C = 3∠−112.5°

答案

C (3∠−112.5°)
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.03843 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3.386 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (310.8)²) = 312.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/312.2 = 0.03843 A

答案

I = 0.03843 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 84.79 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (84.74)²) = 85.32 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/85.32 = 1.172 A

电容电压

VC = I·XC = 1.172·72.34 = 84.79 V

答案

VC = 84.79 V
5.交流功率和功率因数

答案: S = 5760 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

视在功率

S = V·I = 240·24 = 5760 VA

答案

S = 5760 VA
6.交流功率和功率因数

答案: C = 268.6 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(36.87°) = 11.25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23.07°) = 6.39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4.86 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 4860/(2π·50·240²) = 268.6 µF

答案

C = 268.6 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 10

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.0047/4.7 × 10⁻⁹) = 1000 Ω

品质因数

Q = 1000/100 = 10

答案

Q = 10

谐振频率为 33.86 kHz，所以 BW = f₀/Q = 3.386 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 2 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 1 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0.5) = 2000 Ω = 2 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 63.25, Q²·r = 2000 Ω

答案

RD = 2 kΩ
9.三相电

答案: P = 18.33 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·30 = 21.56 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 21.56·0.85 = 18.33 kW

答案

P = 18.33 kW
10.三相电

答案: QC = 18.81 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.78) = 50·0.8023 = 40.11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 18.81 kvar

答案

QC = 18.81 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3147 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0.4091 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.4091·(1 − e−10/6.818) = 0.3147 A

答案

i = 0.3147 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 8.195 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 15/(10 + 22) = 0.4688 A
i(∞) = 15/10 = 1.5 A
τ = L/R = 68/10 = 6.8 ms
i(t) = 1.5 + (0.4688 − 1.5)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (1.191 − 1.5)/(0.4688 − 1.5) = 0.2996
t = 6.8·ln(3.337) = 8.195 ms

答案

t = 8.195 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 8.333 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 6 = 7.667 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·10/(2+10) = 8.333 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 168.3 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·4/(8+4) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 30 = 32.67 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + 5·2.667 = 18.33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.33 + 5·30 = 168.3 V
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −14.18 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 10/0.0047 = 2128 rad/s
fc = 338.6 Hz → f/fc = 1700/338.6 = 5.02

增益

|H| = 1/√(1 + 5.02²) = 0.1954
20·log₁₀(0.1954) = −14.18 dB

答案

|H| = −14.18 dB
16.伯德图与裕度

答案: GM = 1.938 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/3) = 1 → ω180 = √(2·3) = 2.449 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 9)) = K/(2·3·(2 + 3)) = K/30

增益裕度

GM = 20·log₁₀(30/24) = 1.938 dB

答案

GM = 1.938 dB

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