电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

求 z = −3 + j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −3 + j5
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

求 (−1 − j2)³ 的实部。

z = −1 − j2n = 3
Re(z³) =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 100 HzRL = 5 mHC = ?

一个 L = 5 mH 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 100 HzL = 5 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 50 ΩL = 100 mHC = 0.022 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 50 Ω，L = 100 mH，C = 0.022 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0.022 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 8 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 8 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 8 kWpf = 0.75V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
120 V60 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j20 ΩZL​ = ?

一个 120 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 2 + j20 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 2 + j20 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 4.7 mHC = 1 nF

在 L = 4.7 mH、C = 1 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 4.7 mHC = 1 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 2.2 nFR = 1 ΩL = 22 µH

一个充电的 2.2 nF 电容器通过总串联电阻为 1 Ω 的 22 µH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 22 µHC = 2.2 nFR = 1 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 12 Acos φ = 0.88滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 12 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 12 Acos φ = 0.88
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 300 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 15 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 2.2 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13 V？求 t。

Vs = 10 VR = 2.2 kΩC = 47 µFvC(0) = 20 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 15 VIs = 1 AR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 1 mHC = 2.2 µFR = 10 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 10 Ω 两端，其中 L = 1 mH，C = 2.2 µF。 求中心（谐振）频率 f0，单位为 Hz。

R = 10 ΩL = 1 mHC = 2.2 µF
f0 = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 65/(s(s + 10))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 65/(s(s + 10))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = 121 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −3, b = 5 → II

参考角

α = atan(5/3) = 59.04°

辐角

θ = 180° − α = 121°

答案

θ = 121°

极坐标形式为 z = 5.831∠121°。

2.复数

答案: Re(z³) = 11

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

逐步求幂

z² = (−1 − j2)(−1 − j2) = −3 + j4
z³ = (−3 + j4)(−1 − j2) = 11 + j2

用棣莫弗定理检验

z = 2.236∠−116.6° → z³ = 11.18∠10.3°
Re(z³) = 11

答案

Re(z³) = 11
3.交流阻抗和相量

答案: C = 506.6 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.005) = 506.6 µF

答案

C = 506.6 µF
4.交流阻抗和相量

答案: B = 79.58 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.1·0.022·10⁻⁶)) = 3393 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.1/(0.022·10⁻⁶)) = 42.64

带宽

B = f0/Q = 3393/42.64 = 79.58 Hz

答案

B = 79.58 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 7.055 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

无功功率

Q = P·tan φ = 8·0.8819 = 7.055 kvar

答案

Q = 7.055 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 1800 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 2 − j20 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 120/4 = 30 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·2) = 1800 W

答案

Pmax = 1800 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 3.405 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0047·1 × 10⁻⁹) = 13.62 µs

四分之一周期

t = T/4 = 3.405 µs

答案

t = 3.405 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 22.06

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·2.2 × 10⁻⁵·ln 2/1 = 3.05 × 10⁻⁵ s

周期数

n = t·f0 = 3.05 × 10⁻⁵·723432 = 22.06

答案

n = 22.06

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 100。

9.三相电

答案: P = 3.804 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·12 = 4.323 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 4.323·0.88 = 3.804 kW

答案

P = 3.804 kW
10.三相电

答案: QC = 136.8 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.75) = 300·0.8819 = 264.6 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.92) = 300·0.426 = 127.8 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 136.8 kvar

答案

QC = 136.8 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 8.084 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6.667 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0.303 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.303·(1 − e−15/6.667) = 0.2711 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·220·0.2711² = 8.084 mJ

答案

W = 8.084 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 124.5 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 47 µF = 103.4 ms
vC(t) = 10 + (20 − 10)·e−t/τ

求解时间

13 = 10 + (10)·e−t/τ → e−t/τ = (13 − 10)/(20 − 10) = 0.3
t = τ·ln((20 − 10)/(13 − 10)) = 103.4·ln(3.333) = 124.5 ms

答案

t = 124.5 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 13.71 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 4 = 12.57 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·20/(15+20) = 13.71 V
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.155 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.167 + 12 = 16.17 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.5 + 1·4.167 = 6.667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6.667 + 1·12 = 18.67 V
IN​1.155 ARth​16.17 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 18.67/16.17 = 1.155 A
15.伯德图与裕度

答案: f0 = 3393 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.001·2.2 × 10⁻⁶) = 21320 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 3393 Hz

答案

f0 = 3393 Hz
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 5.657 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 100ω² − 4225 = 0
ω² = (−100 + √(10000 + 4·4225))/2 = 32.01
ωc = 5.657 rad/s

答案

ωc = 5.657 rad/s

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