电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 4∠100° 和 z₂ = 1.5∠65°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠100°z₂ = 1.5∠65°
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = −√3 + j 时 z⁶ 的实部。

z = −√3 + jn = 6
Re(z⁶) =
3.交流阻抗和相量中等
10 V200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
12 V50 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 47 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 47 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 1134 W10.5 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 10.5 A 和 1134 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 10.5 AP = 1134 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
230 V50 Hz负载5 kW, 0.6C47 µFI = ?

一个单相负载从 230 V、50 Hz 的电源吸取 5 kW，功率因数为 0.6（滞后）。一个 47 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 5 kWpf1 = 0.6V = 230 Vf = 50 HzC = 47 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 100 nF+−15 VL = 100 mHiL​

一个充电到 20 V 的 100 nF 电容器与一个理想的 100 mH 电感振荡。求电容器电压为 15 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 100 nFV0 = 20 VvC = 15 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?22 µHC

一个串联谐振电路使用 22 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 50 kHz？

L = 22 µHBW = 50 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M75 kW, η = 93%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 75 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 75 kWη = 93%cos φ = 0.88VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 6 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 10 kΩC10 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 10 kΩC = 10 µFt = 120 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​5 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 36 VIs = 5 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.1111010100100−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 1

求 G(s) = 29(s + 1)/(s(s + 8)) 在 ω = 1 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 29(s + 1)/(s(s + 8))ω = 1 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 32/(s(s + 4))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 32/(s(s + 4))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = 35 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 / 1.5 = 2.667
θ = 100° − 65° = 35°

辐角

θ = 35°

答案

θ = 35°
2.复数

答案: Re(z⁶) = −64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −√3 + j = 2∠150°

棣莫弗定理

z⁶ = (2)⁶∠900° = 64∠180°

直角坐标形式

z⁶ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64
Re(z⁶) = −64

答案

Re(z⁶) = −64
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1041 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (82.01)²) = 96.05 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/96.05 = 0.1041 A

答案

I = 0.1041 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 12.58 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−61.44)²) = 64.62 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/64.62 = 0.1857 A

电容电压

VC = I·XC = 0.1857·67.73 = 12.58 V

答案

VC = 12.58 V
5.交流功率和功率因数

答案: X = 4.982 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1134/10.5² = 10.29 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/10.5 = 11.43 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(11.43² − 10.29²) = 4.982 Ω

答案

X = 4.982 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: I = 33.58 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 5·tan(arccos 0.6) = 6.667 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·47·10⁻⁶ = 781.1 var = 0.7811 kvar
Q2 = 6.667 − 0.7811 = 5.886 kvar

新的视在功率

S2 = √(5² + 5.886²) = 7.723 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 7723/230 = 33.58 A

答案

I = 33.58 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 8.75 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁷·20² = 2 × 10⁻⁵ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁷·15² = 1.125 × 10⁻⁵ J

电感中的能量

WL = 8.75 × 10⁻⁶ J = 8.75 µJ

答案

WL = 8.75 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 6.912 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·2.2 × 10⁻⁵·50000 = 6.912 Ω

答案

R = 6.912 Ω
9.三相电

答案: IL = 132.3 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 75/0.93 = 80.65 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 80645/(√3·400·0.88) = 132.3 A

答案

IL = 132.3 A
10.三相电

答案: Cph = 281.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 54.78 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 18262/(377·415²) = 281.3 µF

答案

Cph = 281.3 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.101 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
i(∞) = Vs/R = 6/47 = 0.1277 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.1277·(1 − e−5/3.191) = 0.101 A

答案

i = 0.101 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.807 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·10/(10 + 10) = 6 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 10·10 = 100 ms

放电

vC(t) = 6·e−120/100 = 1.807 V

答案

vC = 1.807 V
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.184 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 8 = 13.22 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·15/(8+15) = 15.65 V
IN​1.184 ARth​13.22 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 15.65/13.22 = 1.184 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 86.75 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 15 = 16.88 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22.5 + 5·1.875 = 31.88 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 31.88 + 5·15 = 106.9 V
Rth​ = 16.88 Ω+−Vth​106.9 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 106.9/(16.88 + 3) = 5.377 A
PL = IL²·RL = 5.377²·3 = 86.75 W
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −52.13 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(1/1) − 90° − atan(1/8) = 45° − 90° − 7.125°

结果

∠G(j1) = −52.13°

答案

∠G(jω) = −52.13°
16.伯德图与裕度

答案: PM = 38.67 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 1024 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·1024))/2 = 24.98
ωc = 4.998 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(4.998/4) = −141.3°
PM = 180° + ∠L = 38.67°

答案

PM = 38.67°

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