电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

把 z = 10∠25° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 10θ = 25°
b =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠0° 的根。点选它。

w = 27∠0°n = 3
  1. 1A (3∠−150°)
  2. 2B (5.4∠−60°)
  3. 3C (3∠−120°)
  4. 4D (3∠−90°)
3.交流阻抗和相量中等
100 V100 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 2 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 1 mH，C = 0.047 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
400 V127 kW, 0.65221 kW, 0.7I = ?

两个负载并联接在 400 V 的单相电源上：一个 27 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载，以及一个 21 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 400 VP1 = 27 kW, pf1 = 0.65 滞后P2 = 21 kW, pf2 = 0.7 滞后
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 10 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 470 µHC = 220 pF

在 L = 470 µH、C = 220 pF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 470 µHC = 220 pF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V100 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 100 Ω，谐振频率为 455 kHz，带宽为 45.5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 100 Ωf0 = 455 kHzBW = 45.5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VNZ = 6 + j8 Ω每相

一个每相阻抗为 6 + j8 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 6 + j8 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 5 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 4.7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 10.8 V？求 t。

Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​1 ABRL​2 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 5 VIs = 1 AR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩRL = 2 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 2.2 kΩC = 10 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 2.2 kΩ, C = 10 nF。输入为14 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 2.2 kΩC = 10 nFf = 14 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 9))。 求给出 8 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 9))GM = 8 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = 4.226

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 10·cos(25°) = 9.063
b = 10·sin(25°) = 4.226

直角坐标形式

z = 9.063 + j4.226
b = 4.226

答案

b = 4.226
2.复数

答案: C (3∠−120°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 0°, 120°, −120°

该点

C = 3∠−120°

答案

C (3∠−120°)
3.交流阻抗和相量

答案: φ = −71.97 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−307.2)²) = 323.1 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−307.2/100) = −71.97°

答案

φ = −71.97°
4.交流阻抗和相量

答案: B = 318.3 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.001/(0.047·10⁻⁶)) = 72.93

带宽

B = f0/Q = 23215/72.93 = 318.3 Hz

答案

B = 318.3 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 178.7 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 27·tan(arccos 0.65) = 31.57 kvar
Q2 = 21·tan(arccos 0.7) = 21.42 kvar

总计

P = 27 + 21 = 48 kW
Q = 31.57 + 21.42 = 52.99 kvar
S = √(48² + 52.99²) = 71.5 kVA

总电流

I = S/V = 71498/400 = 178.7 A

答案

I = 178.7 A
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 8.49 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(53.13°) = 13.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(25.84°) = 4.843 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8.49 kvar

答案

QC = 8.49 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 0.5051 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.00047·2.2 × 10⁻¹⁰) = 2.02 µs

四分之一周期

t = T/4 = 0.5051 µs

答案

t = 0.5051 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.3498 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·45500) = 0.0003498 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·455000)²·0.0003498) = 3.498 × 10⁻¹⁰ F = 0.3498 nF

答案

C = 0.3498 nF

Q = f₀/BW = 10。

9.三相电

答案: P = 10.33 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 239.6/10 = 23.96 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·23.96²·6 = 10.33 kW

答案

P = 10.33 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 1138 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.7) = 250·1.02 = 255.1 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 204.3 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 68095/(377·398.4²) = 1138 µF

答案

Cph = 1138 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.116 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 5/15 = 0.3333 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/0.6667 = 1.116 V

答案

vL = 1.116 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 756.4 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 9 + (18 − 9)·e−t/τ

求解时间

10.8 = 9 + (9)·e−t/τ → e−t/τ = (10.8 − 9)/(18 − 9) = 0.2
t = τ·ln((18 − 9)/(10.8 − 9)) = 470·ln(5) = 756.4 ms

答案

t = 756.4 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 3.714 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 2 = 3.714 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.303 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 3 = 4.6 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + 1·1.6 = 5.6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5.6 + 1·3 = 8.6 V
Rth​ = 4.6 Ω+−Vth​8.6 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 8.6/(4.6 + 2) = 1.303 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −6.762 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(2200·1 × 10⁻⁸) = 45455 rad/s
fc = 7234 Hz → f/fc = 14000/7234 = 1.935

增益

|H| = 1/√(1 + 1.935²) = 0.4591
20·log₁₀(0.4591) = −6.762 dB

答案

|H| = −6.762 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 35.83

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(1·9) = 3 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 81)) = K/(1·9·(1 + 9)) = K/90

所需增益

90/K = 108/20 = 2.512
K = 90/2.512 = 35.83

答案

K = 35.83

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