电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠−60° 和 z₂ = 2∠−140°，求 w = z₁/z₂ 的实部。

z₁ = 2∠−60°z₂ = 2∠−140°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 16∠180° 的根。点选它。

w = 16∠180°n = 4
  1. 1A (2∠−90°)
  2. 2B (2∠180°)
  3. 3C (2∠−135°)
  4. 4D (3.6∠−135°)
3.交流阻抗和相量中等
230 V200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
5 Vf0​R = 10 ΩL = 5 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 2.2 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 690 W4 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 4 A 和 690 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 4 AP = 690 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 5 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 5 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V5 Ω10 mH4.7 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 5 Ω，L = 10 mH，C = 4.7 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 5 ΩL = 10 mHC = 4.7 nF
BW = Hz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 100 pFr = 20 ΩL = 100 µH

一个并联谐振回路由一个 100 pF 电容器和一个绕组电阻为 20 Ω 的 100 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 100 µHC = 100 pFr = 20 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VZ = 12 + j5 Ω每相

一个每相阻抗为 12 + j5 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 12 + j5 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 15 Ωt = 0L150 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 10 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 150 mHt = 10 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.16 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。 已知 R = 1 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 5 VVth = 3.16 VT = 200 msR = 1 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩARL​20 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩRL = 20 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 5 VIs = 1.5 AR1 = 25 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 5

求 G(s) = 3553/((s + 11)(s + 17)) 在 ω = 5 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 3553/((s + 11)(s + 17))ω = 5 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 36/(s(s + 2)(s + 9))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 36/(s(s + 2)(s + 9))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = 0.1736

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 / 2 = 1
θ = −60° − (−140)° = 80°

直角坐标形式

Re(w) = 1·cos(80°) = 0.1736
Im(w) = 1·sin(80°) = 0.9848
Re(w) = 0.1736

答案

Re(w) = 0.1736
2.复数

答案: C (2∠−135°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2
θ = 45°, 135°, −135°, −45°

该点

C = 2∠−135°

答案

C (2∠−135°)
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 49.04 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (46.09)²) = 61.02 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(46.09/40) = 49.04°

答案

φ = 49.04°
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 23.84 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·2.2·10⁻⁶) = 9535 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0.5 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 9535·0.005 = 47.67 Ω
VL = I·XL = 0.5·47.67 = 23.84 V

答案

VL = 23.84 V

这是电源电压的 Q = 4.767 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: X = 38.03 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 690/4² = 43.13 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/4 = 57.5 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(57.5² − 43.13²) = 38.03 Ω

答案

X = 38.03 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: C = 212.9 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(53.13°) = 6.667 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(25.84°) = 2.422 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4.245 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 4245/(2π·60·230²) = 212.9 µF

答案

C = 212.9 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 79.58 Hz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 5/0.01 = 500 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 500/(2π) = 79.58 Hz = 79.58 Hz

答案

BW = 79.58 Hz

当 f₀ = 23.22 kHz 时，得到 Q = 291.7。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 50 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 1 × 10⁻⁴/(1 × 10⁻¹⁰·20) = 50000 Ω = 50 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 50, Q²·r = 50000 Ω

答案

RD = 50 kΩ
9.三相电

答案: P = 36.69 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 415 V

相电流

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 415/13 = 31.92 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·31.92²·12 = 36.69 kW

答案

P = 36.69 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.9231，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 318.5 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.75) = 50·0.8819 = 44.1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 27.66 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9221/(377·277.1²) = 318.5 µF

答案

Cph = 318.5 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 5.518 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e−10/10 = 0.3679 A
vR = R·i = 15·0.3679 = 5.518 V

答案

vR = 5.518 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 200.1 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

3.16 = 5·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 3.16))
τ = 200/0.9997 = 200.1 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 200.1/1 = 200.1 µF

答案

C = 200.1 µF
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1449 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 12 = 14.5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·5/(5+5) = 5 V
Rth​ = 14.5 Ω+−Vth​5 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 5/(14.5 + 20) = 0.1449 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 19.3 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·8/(25+8) = 6.061 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.061 + 6 = 12.06 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.212 + 1.5·6.061 = 10.3 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10.3 + 1.5·6 = 19.3 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 24.4 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j5)| = 3553/(√(5² + 11²)·√(5² + 17²)) = 3553/(12.08·17.72) = 16.59

结果

20·log₁₀(16.59) = 24.4 dB

答案

|G(jω)| = 24.4 dB
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 4.243 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(2·9) = 4.243 rad/s

答案

ω180 = 4.243 rad/s

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