电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

把 z = 2∠−75° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 2θ = −75°

a =

2.复数困难

解 z² − 3z + 18.25 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = −3q = 18.25

b =

3.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

P = W

4.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

5.交流功率和功率因数中等

两个负载并联接在 400 V 的单相电源上：一个 15 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载，以及一个 5 kW、功率因数为 0.85（超前）的负载。求从电源吸取的总电流 I。

V = 400 VP₁ = 15 kW, pf₁ = 0.7 滞后P₂ = 5 kW, pf₂ = 0.85 超前

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 240 V、50 Hz 的电源吸取 13 kW，功率因数为 0.75（滞后）。一个 100 µF 的电容与负载并联。求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 13 kWpf₁ = 0.75V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF

cos φ =

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

一个串联 RLC 电路在 20 kHz 谐振，Q = 3。精确求出较低的半功率频率 f₁，单位 kHz。

f₀ = 20 kHzQ = 3

f₁ = kHz

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个充电的 47 nF 电容器通过总串联电阻为 10 Ω 的 4.7 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e^−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 4.7 mHC = 47 nFR = 10 Ω

n =

9.三相电中等

一个每相阻抗为 12 + j16 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 208 VZ = 12 + j16 Ω 每相

P = kW

10.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 60 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.98V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 500 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 47 µFt = 500 ms

v_C = V

12.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.42 A？求 t。

V_s = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

13.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

14.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 9 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

15.伯德图与裕度中等

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 100 Ω 两端，其中 L = 20 mH，C = 0.22 µF。求 −3 dB 带宽 BW，单位为 Hz。

R = 100 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

BW = Hz

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 3))。求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 3))

GM = dB

3溶液

1.复数

答案: a = 0.5176

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2·cos(−75°) = 0.5176

b = 2·sin(−75°) = −1.932

直角坐标形式

z = 0.5176 − j1.932

a = 0.5176

答案

a = 0.5176

2.复数

答案: b = 4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 9 − 73 = −64 < 0

求根公式

z = (3 ± j√64)/2 = 1.5 + j4, 1.5 − j4

答案

b = 4

答案

b = 4

3.交流阻抗和相量

答案: P = 5.368 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 25.13 Ω, X_C = 169.3 Ω

阻抗

|Z| = √(50² + (−144.2)²) = 152.6 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 50/152.6 = 0.3276 A

P = I²·R = 0.3276²·50 = 5.368 W

答案

P = 5.368 W

4.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 239.9 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

答案

f₀ = 239.9 Hz

5.交流功率和功率因数

答案: I = 58.57 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q₁ = 15·tan(arccos 0.7) = 15.3 kvar

Q₂ = −5·tan(arccos 0.85) = −3.099 kvar

总计

P = 15 + 5 = 20 kW

Q = 15.3 + (−3.099) = 12.2 kvar

S = √(20² + 12.2²) = 23.43 kVA

总电流

I = S/V = 23430/400 = 58.57 A

答案

I = 58.57 A

6.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.8028

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = 13·tan(arccos 0.75) = 11.46 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1.81 kvar

Q₂ = 11.46 − 1.81 = 9.655 kvar

新的视在功率

S₂ = √(13² + 9.655²) = 16.19 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S₂ = 13/16.19 = 0.8028

答案

cos φ = 0.8028

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f₁ = 16.94 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·3²)) = 1.014

较低的半功率频率

f₁ = 20000·(1.014 − 0.1667) = 16943 Hz = 16.94 kHz

答案

f₁ = 16.94 kHz

较高的是 f₂ = 23.61 kHz；检验：f₂ − f₁ = 6.667 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 6.977

振幅的半衰期

t = 2·0.0047·ln 2/10 = 0.0006516 s

周期数

n = t·f₀ = 0.0006516·10708 = 6.977

答案

n = 6.977

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 31.62。

9.三相电

答案: P = 3.894 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = V_L = 208 V

相电流

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 208/20 = 10.4 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·10.4²·12 = 3.894 kW

答案

P = 3.894 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Q_C = 45.65 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 45.65 kvar

答案

Q_C = 45.65 kvar

11.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 9.013 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6.8/(10 + 6.8) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 24·6.8/(10 + 6.8) = 9.714 V

时间常数

τ = R_th·C = 4.048·47 = 190.2 ms

充电曲线

v_C(t) = 9.714·(1 − e^−500/190.2) = 9.013 V

答案

v_C = 9.013 V

12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.159 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 6/10 = 0.6 A

i(∞) = 6/(10 + 15) = 0.24 A

τ = L/R = 150/25 = 6 ms

i(t) = 0.24 + (0.6 − 0.24)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.42 − 0.24)/(0.6 − 0.24) = 0.5

t = 6·ln(2) = 4.159 ms

答案

t = 4.159 ms

13.戴维南和诺顿

答案: R_th = 23.33 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 20 = 23.33 Ω

14.戴维南和诺顿

答案: I_L = 2.854 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 15 = 19.29 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + 4·4.286 = 23.57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23.57 + 4·15 = 83.57 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 83.57/(19.29 + 10) = 2.854 A

15.伯德图与裕度

答案: BW = 795.8 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2 × 10⁻⁷) = 15076 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2399 Hz

带宽

BW = R/L = 100/0.02 = 5000 rad/s = 795.8 Hz

答案

BW = 795.8 Hz

16.伯德图与裕度

答案: GM = 15.56 dB

相位穿越

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·3) = 1.732 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 9)) = K/(1·3·(1 + 3)) = K/12

增益裕度

GM = 20·log₁₀(12/2) = 15.56 dB

答案

GM = 15.56 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

分量

直角坐标形式

答案

判别式

求根公式

答案

答案

电抗

阻抗

有功功率

答案

谐振

答案

每个负载的无功功率

总计

总电流

答案

补偿前后的无功功率

新的视在功率

新的功率因数

答案

平方根项

较低的半功率频率

答案

振幅的半衰期

周期数

答案

相电压

相电流

总有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

谐振频率

带宽

答案

相位穿越

相位穿越处的幅值

增益裕度

答案

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th