电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

图中显示 z = −4 + j4。已知 w = 0.5∠180°，点选表示 z/w 的点。

z = −4 + j4w = 0.5∠180°
  1. 1A (4 − j4)
  2. 2B (−8 + j8)
  3. 3C (2 − j2)
  4. 4D (8 − j8)
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 81∠90° 的根。点选它。

w = 81∠90°n = 4
  1. 1A (3∠90°)
  2. 2B (3∠−112.5°)
  3. 3C (5.4∠−112.5°)
  4. 4D (3∠−157.5°)
3.交流阻抗和相量中等
10 V200 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
12 V100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 32 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 32 kW，功率因数为 0.65（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 32 kWpf = 0.65V = 230 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 35 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V4.7 kΩ47 µH47 nF

一个并联 RLC 电路的 R = 4.7 kΩ，L = 47 µH，C = 47 nF。求它的品质因数 Q。

R = 4.7 kΩL = 47 µHC = 47 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V22 Ω4.7 mH470 nF50 mA

一个串联 RLC 电路（R = 22 Ω，L = 4.7 mH，C = 470 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 50 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 µJ。

R = 22 ΩL = 4.7 mHC = 470 nFIm = 50 mA
Ecycle = µJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VZ = 12 + j16 Ω每相

一个每相阻抗为 12 + j16 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 12 + j16 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 75 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 3.3 kΩC100 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR1 = 6.8 kΩR2 = 3.3 kΩC = 100 µFt = 400 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 求 t = 10 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 Vt = 10 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAIs​6 ABRL​20 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 24 VIs = 6 AR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩRL = 20 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 2

求 G(s) = 23(s + 20)/(s(s + 2)) 在 ω = 2 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 23(s + 20)/(s(s + 2))ω = 2 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 40/(s(s + 3)(s + 10))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 40/(s(s + 3)(s + 10))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: D (8 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 180°

该点

z/w = 8 − j8 → D

答案

D (8 − j8)
2.复数

答案: D (3∠−157.5°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 22.5°, 112.5°, −157.5°, −67.5°

该点

D = 3∠−157.5°

答案

D (3∠−157.5°)
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.04242 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (234.4)²) = 235.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/235.7 = 0.04242 A

答案

I = 0.04242 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 15.18 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−566.4)²) = 572 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/572 = 0.02098 A

电容电压

VC = I·XC = 0.02098·723.4 = 15.18 V

答案

VC = 15.18 V
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 37.41 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

无功功率

Q = P·tan φ = 32·1.169 = 37.41 kvar

答案

Q = 37.41 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 23.97 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(49.46°) = 40.92 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar
QC = Q1 − Q2 = 23.97 kvar

答案

QC = 23.97 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 148.6

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 672825 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 4700/(672825·4.7 × 10⁻⁵) = 148.6

答案

Q = 148.6

带宽为 1/(2πRC) = 720.5 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 8.121 µJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.0047·0.05² = 5.875 × 10⁻⁶ J

品质因数

Q = (1/22)·√(0.0047/4.7 × 10⁻⁷) = 4.545

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·5.875 × 10⁻⁶/4.545 = 8.121 × 10⁻⁶ J = 8.121 µJ
校核: ½·0.05²·22/3386 = 8.121 × 10⁻⁶ J

答案

Ecycle = 8.121 µJ
9.三相电

答案: P = 20.74 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 480 V

相电流

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 480/20 = 24 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·24²·12 = 20.74 kW

答案

P = 20.74 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 194.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.8) = 75·0.75 = 56.25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 31.6 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10533/(314.2·415²) = 194.7 µF

答案

Cph = 194.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 2.727 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.222 kΩ
vC(∞) = 10·3.3/(6.8 + 3.3) = 3.267 V

时间常数

τ = Rth·C = 2.222·100 = 222.2 ms

充电曲线

vC(t) = 3.267·(1 − e−400/222.2) = 2.727 V

答案

vC = 2.727 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.922 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 12 + (4 − 12)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(10) = 12 + (−8)·e−10/22 = 6.922 V

答案

vC = 6.922 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 6.5 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 5 = 6.5 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 33.27 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 3 = 6.75 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + (−6)·3.75 = −16.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −16.5 + (−6)·3 = −34.5 V
Rth​ = 6.75 Ω−+Vth​34.5 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −34.5/(6.75 + 20) = −1.29 A
PL = IL²·RL = −1.29²·20 = 33.27 W
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −129.3 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(2/20) − 90° − atan(2/2) = 5.711° − 90° − 45°

结果

∠G(j2) = −129.3°

答案

∠G(jω) = −129.3°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 19.78 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/3)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(3·10) = 5.477 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 100)) = K/(3·10·(3 + 10)) = K/390

增益裕度

GM = 20·log₁₀(390/40) = 19.78 dB

答案

GM = 19.78 dB

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