电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

数 z = 6·ej2.4 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 6θ = 2.4 rad
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠0° 的根。点选它。

w = 27∠0°n = 3
  1. 1A (3∠0°)
  2. 2B (1.5∠0°)
  3. 3C (3∠60°)
  4. 4D (3∠180°)
3.交流阻抗和相量中等
50 V60 HzR = 25 ΩL = 100 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 15 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 10 mH，C = 0.047 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 2 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 2 kW，功率因数为 0.9（滞后）。 求线路电流 I。

P = 2 kWpf = 0.9V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
240 V50 Hz负载15 kW, 0.8C330 µFI = ?

一个单相负载从 240 V、50 Hz 的电源吸取 15 kW，功率因数为 0.8（滞后）。一个 330 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 15 kWpf1 = 0.8V = 240 Vf = 50 HzC = 330 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V10 Ω4.7 mH1 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 10 Ω，L = 4.7 mH，C = 1 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 10 ΩL = 4.7 mHC = 1 nF
BW = Hz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 10 nFr = 10 ΩL = 10 mH

一个并联谐振回路由一个 10 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 10 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 10 mHC = 10 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M90 kW, η = 88%cos φ = 0.8

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 90 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 90 kWη = 88%cos φ = 0.8VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 300 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 3.8 V？求 t。

Vs = 5 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 2 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩARL​20 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩRL = 20 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAIs​3 ABRL​25 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 25 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 ΩRL = 25 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 5 mHC = 4.7 µFR = 20 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 20 Ω 两端，其中 L = 5 mH，C = 4.7 µF。 求品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 70/(s(s + 10))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 70/(s(s + 10))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: b = 4.053

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 6·(cos 2.4 + j sin 2.4)

分量（弧度）

a = 6·cos 2.4 = −4.424
b = 6·sin 2.4 = 4.053
b = 4.053

答案

b = 4.053
2.复数

答案: A (3∠0°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 0°, 120°, −120°

该点

A = 3∠0°

答案

A (3∠0°)
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 20.84 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 50/25 = 2 A
IX = V/XL = 50/37.7 = 1.326 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(2² + 1.326²) = 2.4 A

阻抗

|Z| = V/I = 50/2.4 = 20.84 Ω

答案

|Z| = 20.84 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: B = 238.7 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.01·0.047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.01/(0.047·10⁻⁶)) = 30.75

带宽

B = f0/Q = 7341/30.75 = 238.7 Hz

答案

B = 238.7 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 9.259 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 2000/(240·0.9) = 9.259 A

答案

I = 9.259 A
6.交流功率和功率因数

答案: I = 66.26 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 15·tan(arccos 0.8) = 11.25 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·330·10⁻⁶ = 5972 var = 5.972 kvar
Q2 = 11.25 − 5.972 = 5.278 kvar

新的视在功率

S2 = √(15² + 5.278²) = 15.9 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 15902/240 = 66.26 A

答案

I = 66.26 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 338.6 Hz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 10/0.0047 = 2128 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 2128/(2π) = 338.6 Hz = 338.6 Hz

答案

BW = 338.6 Hz

当 f₀ = 73.41 kHz 时，得到 Q = 216.8。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 100 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.01/(1 × 10⁻⁸·10) = 100000 Ω = 100 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 100, Q²·r = 100000 Ω

答案

RD = 100 kΩ
9.三相电

答案: IL = 153.8 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 90/0.88 = 102.3 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 102273/(√3·480·0.8) = 153.8 A

答案

IL = 153.8 A
10.三相电

答案: QC = 79.7 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.8) = 300·0.75 = 225 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 79.7 kvar

答案

QC = 79.7 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 3.259 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0.2553 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.2553² = 3.259 mJ

答案

W(∞) = 3.259 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 665.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 5 + (2 − 5)·e−t/τ

求解时间

3.8 = 5 + (−3)·e−t/τ → e−t/τ = (3.8 − 5)/(2 − 5) = 0.4
t = τ·ln((2 − 5)/(3.8 − 5)) = 726·ln(2.5) = 665.2 ms

答案

t = 665.2 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.08696 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 15 = 18.33 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·5/(10+5) = 3.333 V
Rth​ = 18.33 Ω+−Vth​3.333 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.333/(18.33 + 20) = 0.08696 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1195 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·30/(5+30) = 4.286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.286 + 3 = 7.286 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 25.71 + (−3)·4.286 = 12.86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.86 + (−3)·3 = 3.857 V
Rth​ = 7.286 Ω+−Vth​3.857 VRL​25 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.857/(7.286 + 25) = 0.1195 A
15.伯德图与裕度

答案: Q = 1.631

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7 × 10⁻⁶) = 6523 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1038 Hz

品质因数

BW = R/L = 20/0.005 = 4000 rad/s = 636.6 Hz
Q = ω₀/BW = 6523/4000 = 1.631

答案

Q = 1.631
16.伯德图与裕度

答案: PM = 59.03 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 100ω² − 4900 = 0
ω² = (−100 + √(10000 + 4·4900))/2 = 36.02
ωc = 6.002 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(6.002/10) = −121°
PM = 180° + ∠L = 59.03°

答案

PM = 59.03°

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