电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

求 z = 9 − j3 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 9 − j3

θ = °

2.复数困难

用棣莫弗定理求 z = −1 + j 时 z⁴ 的实部。

z = −1 + jn = 4

Re(z⁴) =

3.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

I = A

4.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

5.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 15 + j20 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。求它吸收的无功功率 Q。

V = 230 VZ = 15 + j20 Ω

Q = var

6.交流功率和功率因数困难

一台 10 kVA 的单相变压器为一个 4 kW、功率因数为 0.75（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

S_max = 10 kVAP₁ = 4 kWpf₁ = 0.75

ΔP = kW

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

在 L = 100 mH、C = 470 pF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 100 mHC = 470 pF

t = µs

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个并联谐振回路由一个 4.7 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 4.7 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 R_D = L/(C·r)。求 R_D，单位 kΩ。

L = 4.7 mHC = 4.7 nFr = 10 Ω

R_D = kΩ

9.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 22 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 I_L。

P_out = 22 kWη = 88%cos φ = 0.8V_L = 690 V

I_L = A

10.三相电困难

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 200 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

12.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 4.6 V？求 t。

V_s = 5 VR = 2.2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

13.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

14.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

15.伯德图与裕度中等

图中所示的RC 低通滤波器有R = 22 kΩ, C = 100 nF。输入为140 Hz的正弦信号。求增益 |H| = |v_out/v_in|，以 dB 表示。

R = 22 kΩC = 100 nFf = 140 Hz

|H| = dB

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))。求给出 8 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))GM = 8 dB

K =

3溶液

1.复数

答案: θ = −18.43 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 9, b = −3 → IV

参考角

α = atan(3/9) = 18.43°

辐角

θ = −α = −18.43°

答案

θ = −18.43°

极坐标形式为 z = 9.487∠−18.43°。

2.复数

答案: Re(z⁴) = −4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −1 + j = √2∠135°

棣莫弗定理

z⁴ = (√2)⁴∠540° = 4∠180°

直角坐标形式

z⁴ = 4·(cos 180° + j sin 180°) = −4

Re(z⁴) = −4

答案

Re(z⁴) = −4

3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4062 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−244.4)²) = 246.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/246.2 = 0.4062 A

答案

I = 0.4062 A

4.交流阻抗和相量

答案: V_L = 169.7 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 12/5 = 2.4 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 2.4·70.71 = 169.7 V

答案

V_L = 169.7 V

这是电源电压的 Q = 14.14 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 1693 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 230/25 = 9.2 A

无功功率

Q = I²·X = 9.2²·20 = 1693 var

答案

Q = 1693 var

6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 5.357 kW

现有负载的无功功率

Q₁ = 4·tan(arccos 0.75) = 3.528 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = S_max，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(10² − 3.528²) = 9.357 kW

增加的有功功率

ΔP = 9.357 − 4 = 5.357 kW

答案

ΔP = 5.357 kW

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 10.77 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f₀ = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV₀² 保持不变，所以峰值电流为 I_max = V₀√(C/L)。一个周期为 T = 1/f₀；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.1·4.7 × 10⁻¹⁰) = 43.08 µs

四分之一周期

t = T/4 = 10.77 µs

答案

t = 10.77 µs

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R_D = 100 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

R_D = 0.0047/(4.7 × 10⁻⁹·10) = 100000 Ω = 100 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 100, Q²·r = 100000 Ω

答案

R_D = 100 kΩ

9.三相电

答案: I_L = 26.15 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 22/0.88 = 25 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 25000/(√3·690·0.8) = 26.15 A

答案

I_L = 26.15 A

10.三相电

答案: Q_C = 152.2 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.72) = 200·0.9639 = 192.8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 152.2 kvar

答案

Q_C = 152.2 kvar

11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.97 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1.091 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.091·(1 − e^−1/0.4545) = 0.97 A

答案

i = 0.97 A

12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 443.5 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 5 + (4 − 5)·e^−t/τ

求解时间

4.6 = 5 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4.6 − 5)/(4 − 5) = 0.4

t = τ·ln((4 − 5)/(4.6 − 5)) = 484·ln(2.5) = 443.5 ms

答案

t = 443.5 ms

13.戴维南和诺顿

答案: V_th = 10.59 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 5 = 6.765 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·15/(2+15) = 10.59 V

14.戴维南和诺顿

答案: P_L = 29.49 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·30/(15+30) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 5 = 15 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 1.5·10 = 35 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 35 + 1.5·5 = 42.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 42.5/(15 + 20) = 1.214 A

P_L = I_L²·R_L = 1.214²·20 = 29.49 W

15.伯德图与裕度

答案: |H| = −6.762 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·1 × 10⁻⁷) = 454.5 rad/s

f_c = 72.34 Hz → f/f_c = 140/72.34 = 1.935

增益

|H| = 1/√(1 + 1.935²) = 0.4591

20·log₁₀(0.4591) = −6.762 dB

答案

|H| = −6.762 dB

16.伯德图与裕度

答案: K = 78.83

相位穿越

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·9) = 4.243 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 81)) = K/(2·9·(2 + 9)) = K/198

所需增益

198/K = 10^8/20 = 2.512

K = 198/2.512 = 78.83

答案

K = 78.83

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

象限

参考角

辐角

答案

极坐标形式

棣莫弗定理

直角坐标形式

答案

电抗

阻抗

电流

答案

谐振

电感两端的电压

答案

电流

无功功率

答案

现有负载的无功功率

最大总有功功率

增加的有功功率

答案

周期

四分之一周期

答案

动态电阻

用 Q 检验

答案

电输入功率

线路电流

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

转折频率

增益

答案

相位穿越

相位穿越处的幅值

所需增益

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th