电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂w

已知 z₁ = 2.5∠−60° 和 z₂ = 3∠45°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 2.5∠−60°z₂ = 3∠45°
θ = °
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₀z₁z₂

n = 3、w = 64∠60° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 64∠60°n = 3k = 0
θ₀ = °
3.交流阻抗和相量中等
120 V200 HzR = 30 ΩL = 20 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mH
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
12 V500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 378 W3.5 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 3.5 A 和 378 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 3.5 AP = 378 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
230 V50 Hz负载4 kW, 0.75C33 µFI

一个单相负载从 230 V、50 Hz 的电源吸取 4 kW，功率因数为 0.75（滞后）。一个 33 µF 的电容与负载并联。 求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 4 kWpf1 = 0.75V = 230 Vf = 50 HzC = 33 µF
cos φ =
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 2.2 mHC = 1 µF

在 L = 2.2 mH、C = 1 µF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 2.2 mHC = 1 µF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?20 kHz24 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 20 kHz 和 24 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 20 kHzf2 = 24 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 100 Acos φ = 0.88滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 100 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 100 Acos φ = 0.88
P = kW
10.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 2 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 100 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 2.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。 已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 5 VVth = 2.5 VT = 500 msR = 100 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAIs​2.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 24 VIs = 2.5 AR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)ω = 15

求 G(s) = 42/((s + 3)(s + 14)) 在 ω = 15 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 42/((s + 3)(s + 14))ω = 15 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.010.010.10.1111010−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 1/(s(s + 1))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 1/(s(s + 1))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −105 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2.5 / 3 = 0.8333
θ = −60° − 45° = −105°

辐角

θ = −105°

答案

θ = −105°
2.复数

答案: θ₀ = 20 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

641/3 = 4

根的辐角

θ₀ = (60° + 360°·0)/3 = 20°

辐角

θ₀ = 20°

答案

θ₀ = 20°

3 个根位于半径为 4 的圆上，彼此相隔 120°。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 50.05 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XL = 120/25.13 = 4.775 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(4² + 4.775²) = 6.229 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(4.775/4) = 50.05°

答案

φ = 50.05°
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 339.3 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·2.2·10⁻⁶)) = 339.3 Hz

答案

f0 = 339.3 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: X = 14.94 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 378/3.5² = 30.86 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/3.5 = 34.29 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(34.29² − 30.86²) = 14.94 Ω

答案

X = 14.94 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.802

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 4·tan(arccos 0.75) = 3.528 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·33·10⁻⁶ = 548.4 var = 0.5484 kvar
Q2 = 3.528 − 0.5484 = 2.979 kvar

新的视在功率

S2 = √(4² + 2.979²) = 4.988 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S2 = 4/4.988 = 0.802

答案

cos φ = 0.802
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 73.68 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0022·1 × 10⁻⁶) = 294.7 µs

四分之一周期

t = T/4 = 73.68 µs

答案

t = 73.68 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 5.477

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(20000·24000) = 21909 Hz

带宽

BW = 24000 − 20000 = 4000 Hz

品质因数

Q = 21909/4000 = 5.477

答案

Q = 5.477
9.三相电

答案: P = 63.25 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·100 = 71.88 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 71.88·0.88 = 63.25 kW

答案

P = 63.25 kW
10.三相电

答案: Cph = 1470 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.75) = 200·0.8819 = 176.4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 79.52 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 26506/(314.2·239.6²) = 1470 µF

答案

Cph = 1470 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 2.372 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0.4091 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−2/1.5 = 2.372 V

答案

vL = 2.372 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 7.213 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

2.5 = 5·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 2.5))
τ = 500/0.6931 = 721.3 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 721.3/100 = 7.213 µF

答案

C = 7.213 µF
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 2.857 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.286 + 6 = 10.29 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·6/(15+6) = 2.857 V
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 3.839 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.108 + 4 = 12.11 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16.22 + 2.5·8.108 = 36.49 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 36.49 + 2.5·4 = 46.49 V
IN​3.839 ARth​12.11 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 46.49/12.11 = 3.839 A
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = −17.47 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j15)| = 42/(√(15² + 3²)·√(15² + 14²)) = 42/(15.3·20.52) = 0.1338

结果

20·log₁₀(0.1338) = −17.47 dB

答案

|G(jω)| = −17.47 dB
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 0.7862 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 1ω² − 1 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·1))/2 = 0.618
ωc = 0.7862 rad/s

答案

ωc = 0.7862 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2