电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

把 z = −7 − j2 写成指数形式 r·ejθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −7 − j2
θ = rad
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3θz

求 (3 + j)⁵ 的虚部。

z = 3 + jn = 5
Im(z⁵) =
3.交流阻抗和相量中等
12 V200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
10 V500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 47 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
240 VR + jXP = 3672 W18 A

一个感性负载从 240 V（有效值）的单相电源吸取 18 A 和 3672 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 240 VI = 18 AP = 3672 W
R = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 34 kWQ1​S1​φ

一台 50 kVA 的单相变压器为一个 34 kW、功率因数为 0.8（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 50 kVAP1 = 34 kWpf1 = 0.8
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V5 Ω1 mH1 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 5 Ω，L = 1 mH，C = 1 nF。求它的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 1 mHC = 1 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V20 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 20 Ω，谐振频率为 500 kHz，带宽为 12.5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 20 Ωf0 = 500 kHzBW = 12.5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M45 kW, η = 88%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 88%cos φ = 0.86VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 15 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 10 VR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 1 kΩR2​ = 3.3 kΩi2​C33 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 30 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 12 VR1 = 1 kΩR2 = 3.3 kΩC = 33 µFt = 30 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​2 ABRL​2 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩRL = 2 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 10

求 G(s) = 13(s + 12)/(s(s + 2)) 在 ω = 10 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 13(s + 12)/(s(s + 2))ω = 10 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 44/(s(s + 1)(s + 7))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 44/(s(s + 1)(s + 7))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = −2.863 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(49 + 4) = 7.28

以弧度表示的辐角

θ = −164.1° = −164.1·π/180 = −2.863 rad

指数形式

z = 7.28·e−j2.863

答案

θ = −2.863 rad
2.复数

答案: Im(z⁵) = 316

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

逐步求幂

z² = (3 + j)(3 + j) = 8 + j6
z³ = (8 + j6)(3 + j) = 18 + j26
z⁴ = (18 + j26)(3 + j) = 28 + j96
z⁵ = (28 + j96)(3 + j) = −12 + j316

用棣莫弗定理检验

z = 3.162∠18.43° → z⁵ = 316.2∠92.17°
Im(z⁵) = 316

答案

Im(z⁵) = 316
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.04062 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (278)²) = 295.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/295.4 = 0.04062 A

答案

I = 0.04062 A
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.02141 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (464.5)²) = 467.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/467.1 = 0.02141 A

答案

I = 0.02141 A
5.交流功率和功率因数

答案: R = 11.33 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 3672/18² = 11.33 Ω

答案

R = 11.33 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 9.009 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 34·tan(arccos 0.8) = 25.5 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 25.5²) = 43.01 kW

增加的有功功率

ΔP = 43.01 − 34 = 9.009 kW

答案

ΔP = 9.009 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 200

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.001/1 × 10⁻⁹) = 1000 Ω

品质因数

Q = 1000/5 = 200

答案

Q = 200

谐振频率为 159.2 kHz，所以 BW = f₀/Q = 795.8 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.3979 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·12500) = 0.0002546 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·500000)²·0.0002546) = 3.979 × 10⁻¹⁰ F = 0.3979 nF

答案

C = 0.3979 nF

Q = f₀/BW = 40。

9.三相电

答案: IL = 85.82 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.88 = 51.14 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 51136/(√3·400·0.86) = 85.82 A

答案

IL = 85.82 A
10.三相电

答案: Cph = 213.2 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.9) = 60·0.4843 = 29.06 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 32.15 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(314.2·400²) = 213.2 µF

答案

Cph = 213.2 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.03 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/15 = 0.6667 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−5/2.2 = 1.03 V

答案

vL = 1.03 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 2.119 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·3.3/(1 + 3.3) = 9.209 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 3.3·33 = 108.9 ms

放电

vC(t) = 9.209·e−30/108.9 = 6.992 V
i2 = vC/R2 = 6.992/3.3 = 2.119 mA

答案

i2 = 2.119 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.8 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 4 = 5.714 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·4/(3+4) = 10.29 V
IN​1.8 ARth​5.714 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 10.29/5.714 = 1.8 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 5.492 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·2/(4+2) = 1.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.333 + 20 = 21.33 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + (−2)·1.333 = 1.333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 1.333 + (−2)·20 = −38.67 V
Rth​ = 21.33 Ω−+Vth​38.67 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −38.67/(21.33 + 2) = −1.657 A
PL = IL²·RL = −1.657²·2 = 5.492 W
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −128.9 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(10/12) − 90° − atan(10/2) = 39.81° − 90° − 78.69°

结果

∠G(j10) = −128.9°

答案

∠G(jω) = −128.9°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 2.095 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(1·7) = 2.646 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 49)) = K/(1·7·(1 + 7)) = K/56

增益裕度

GM = 20·log₁₀(56/44) = 2.095 dB

答案

GM = 2.095 dB

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