电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 2.5∠25° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 2.5θ = 25°
b =
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1z₁z₂

z³ + z² − 4z + 6 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
100 V50 HzR = 30 ΩL = 200 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 200 mH
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 32 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 32 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 32 kWpf = 0.85V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
400 V60 Hz负载17 kW, 0.8C33 µFI = ?

一个单相负载从 400 V、60 Hz 的电源吸取 17 kW，功率因数为 0.8（滞后）。一个 33 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 17 kWpf1 = 0.8V = 400 Vf = 60 HzC = 33 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 2.2 mHC = 100 nF

在 L = 2.2 mH、C = 100 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 2.2 mHC = 100 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V100 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 100 Ω，谐振频率为 10 kHz，带宽为 250 Hz。求电容 C，单位 nF。

R = 100 Ωf0 = 10 kHzBW = 250 Hz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 20 Acos φ = 0.75滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 20 A 的线电流，功率因数为 0.75（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 20 Acos φ = 0.75
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 68 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 0.5 AR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 6.8 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 9.9 V？求 t。

Vs = 12 VR = 6.8 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩARL​6 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩRL = 6 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABRL​25 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 25 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 18 VIs = 0.5 AR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩRL = 25 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 1 mHC = 1 µFR = 20 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 20 Ω 两端，其中 L = 1 mH，C = 1 µF。 求品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 1 mHC = 1 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 60/(s(s + 2)(s + 6))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 60/(s(s + 2)(s + 6))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: b = 1.057

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2.5·cos(25°) = 2.266
b = 2.5·sin(25°) = 1.057

直角坐标形式

z = 2.266 + j1.057
b = 1.057

答案

b = 1.057
2.复数

答案: r = −3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 1²) = z² − 2z + 2

提取二次因式

z³ + z² − 4z + 6 = (z² − 2z + 2)(z + 3)

实根

r = −3

答案

r = −3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + (−3) = −1 = −(1)。

3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 27.07 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·50·0.2 = 62.83 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 100/30 = 3.333 A
IX = V/XL = 100/62.83 = 1.592 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(3.333² + 1.592²) = 3.694 A

阻抗

|Z| = V/I = 100/3.694 = 27.07 Ω

答案

|Z| = 27.07 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 99.02 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·4.7·10⁻⁶) = 1031 rad/s
I = V/R = 24/50 = 0.48 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 1031·0.2 = 206.3 Ω
VL = I·XL = 0.48·206.3 = 99.02 V

答案

VL = 99.02 V

这是电源电压的 Q = 4.126 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 156.9 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 32000/(240·0.85) = 156.9 A

答案

I = 156.9 A
6.交流功率和功率因数

答案: I = 50.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 17·tan(arccos 0.8) = 12.75 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·33·10⁻⁶ = 1991 var = 1.991 kvar
Q2 = 12.75 − 1.991 = 10.76 kvar

新的视在功率

S2 = √(17² + 10.76²) = 20.12 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 20119/400 = 50.3 A

答案

I = 50.3 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 23.3 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0022·1 × 10⁻⁷) = 93.19 µs

四分之一周期

t = T/4 = 23.3 µs

答案

t = 23.3 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 3.979 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·250) = 0.06366 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·10000)²·0.06366) = 3.979 × 10⁻⁹ F = 3.979 nF

答案

C = 3.979 nF

Q = f₀/BW = 40。

9.三相电

答案: P = 5.404 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·20 = 7.205 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 7.205·0.75 = 5.404 kW

答案

P = 5.404 kW
10.三相电

答案: Cph = 940.8 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 245.1 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 81715/(377·480²) = 940.8 µF

答案

Cph = 940.8 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 8.001 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0.6912 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e−1/0.6912 = 0.1177 A
vR = R·i = 68·0.1177 = 8.001 V

答案

vR = 8.001 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 270.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ

求解时间

9.9 = 12 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (9.9 − 12)/(5 − 12) = 0.3
t = τ·ln((5 − 12)/(9.9 − 12)) = 224.4·ln(3.333) = 270.2 ms

答案

t = 270.2 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2586 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 10 = 13.33 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(10+5) = 5 V
Rth​ = 13.33 Ω+−Vth​5 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 5/(13.33 + 6) = 0.2586 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 1.529 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·5/(30+5) = 4.286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.286 + 10 = 14.29 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.571 + 0.5·4.286 = 4.714 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4.714 + 0.5·10 = 9.714 V
Rth​ = 14.29 Ω+−Vth​9.714 VRL​25 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 9.714/(14.29 + 25) = 0.2473 A
PL = IL²·RL = 0.2473²·25 = 1.529 W
15.伯德图与裕度

答案: Q = 1.581

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.001·1 × 10⁻⁶) = 31623 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 5033 Hz

品质因数

BW = R/L = 20/0.001 = 20000 rad/s = 3183 Hz
Q = ω₀/BW = 31623/20000 = 1.581

答案

Q = 1.581
16.伯德图与裕度

答案: GM = 4.082 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(2·6) = 3.464 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 36)) = K/(2·6·(2 + 6)) = K/96

增益裕度

GM = 20·log₁₀(96/60) = 4.082 dB

答案

GM = 4.082 dB

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