电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−344−4−455−5−566−6−677−7−788−8−8zABCD

图中显示 z = 3 + j2。已知 w = 0.5∠90°，点选表示 z/w 的点。

z = 3 + j2w = 0.5∠90°
  1. 1A (−4 + j6)
  2. 2B (2 − j3)
  3. 3C (4 − j6)
  4. 4D (6 + j4)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 2 + j2 时 z³ 的虚部。

z = 2 + j2n = 3
Im(z³) =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = 5 mHC = ?

一个 L = 5 mH 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 5000 HzL = 5 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 50 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 50 Ω，L = 1 mH，C = 0.047 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 50 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 1 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 1 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 1 kWpf = 0.85V = 230 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 30 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 30 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求所需电容 C。

P = 30 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 2.2 mHC = 100 nF

在 L = 2.2 mH、C = 100 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 2.2 mHC = 100 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V50 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 50 Ω，谐振频率为 200 kHz，带宽为 5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 50 Ωf0 = 200 kHzBW = 5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M30 kW, η = 90%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 30 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0.88VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL47 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 1 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。 已知 R = 1 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 15 VVth = 9 VT = 250 msR = 1 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩARL​5 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 30 VIs = 2.5 AR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−80−60−40−20020ω (rad/s)ω = 3

求 G(s) = 650/((s + 10)(s + 13)) 在 ω = 3 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 650/((s + 10)(s + 13))ω = 3 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3))。 求给出 2 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3))GM = 2 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: C (4 − j6)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

该点

z/w = 4 − j6 → C

答案

C (4 − j6)
2.复数

答案: Im(z³) = 16

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

棣莫弗定理

z³ = (2√2)³∠135° = 22.63∠135°

直角坐标形式

z³ = 22.63·(cos 135° + j sin 135°) = −16 + j16
Im(z³) = 16

答案

Im(z³) = 16
3.交流阻抗和相量

答案: C = 0.2026 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.005) = 0.2026 µF

答案

C = 0.2026 µF
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 2.917

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.001/(0.047·10⁻⁶)) = 2.917

答案

Q = 2.917
5.交流功率和功率因数

答案: I = 5.115 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 1000/(230·0.85) = 5.115 A

答案

I = 5.115 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 955.4 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(45.57°) = 30.61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(18.19°) = 9.861 kvar
QC = Q1 − Q2 = 20.75 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 20746/(2π·60·240²) = 955.4 µF

答案

C = 955.4 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 23.3 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0022·1 × 10⁻⁷) = 93.19 µs

四分之一周期

t = T/4 = 23.3 µs

答案

t = 23.3 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.3979 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·5000) = 0.001592 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·200000)²·0.001592) = 3.979 × 10⁻¹⁰ F = 0.3979 nF

答案

C = 0.3979 nF

Q = f₀/BW = 40。

9.三相电

答案: IL = 45.56 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 30/0.9 = 33.33 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·480·0.88) = 45.56 A

答案

IL = 45.56 A
10.三相电

答案: Cph = 875.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 142.1 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 47360/(314.2·415²) = 875.3 µF

答案

Cph = 875.3 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.1451 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.12·(1 − e−1/0.94) = 0.07858 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·47·0.07858² = 0.1451 mJ

答案

W = 0.1451 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 272.8 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

9 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 9))
τ = 250/0.9163 = 272.8 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 272.8/1 = 272.8 µF

答案

C = 272.8 µF
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.3468 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 8 = 10.73 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(6+5) = 5.455 V
Rth​ = 10.73 Ω+−Vth​5.455 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 5.455/(10.73 + 5) = 0.3468 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 4.5 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.714 + 5 = 10.71 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 21.43 + 2.5·5.714 = 35.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 35.71 + 2.5·5 = 48.21 V
IN​4.5 ARth​10.71 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 48.21/10.71 = 4.5 A
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 13.38 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j3)| = 650/(√(3² + 10²)·√(3² + 13²)) = 650/(10.44·13.34) = 4.666

结果

20·log₁₀(4.666) = 13.38 dB

答案

|G(jω)| = 13.38 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 23.83

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/3) = 1 → ω180 = √(2·3) = 2.449 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 9)) = K/(2·3·(2 + 3)) = K/30

所需增益

30/K = 102/20 = 1.259
K = 30/1.259 = 23.83

答案

K = 23.83

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