电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = −3 + j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −3 + j7
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃z₄z₅

n = 6、w = 64∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₄ 的实部。

w = 64∠−60°n = 6k = 4
Re(z₄) =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 10 µF

一个 C = 10 µF 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 5000 HzC = 10 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
12 Vf0​R = 2 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 12 V (rms)R = 2 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
240 V17 kW, 0.85220 kW, 1I = ?

两个负载并联接在 240 V 的单相电源上：一个 7 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载，以及一台 20 kW 的加热器（功率因数为 1）。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 240 VP1 = 7 kW, pf1 = 0.85 滞后P2 = 20 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 80 kWQ1​S1​φ

一台 200 kVA 的单相变压器为一个 80 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 200 kVAP1 = 80 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 kΩ470 µH22 nF

一个并联 RLC 电路的 R = 1 kΩ，L = 470 µH，C = 22 nF。求它的品质因数 Q。

R = 1 kΩL = 470 µHC = 22 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?22 mHC

一个串联谐振电路使用 22 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 10 kHz？

L = 22 mHBW = 10 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j7 Ω每相

一个每相阻抗为 24 + j7 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 6 Vt = 30 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 50 mHC = 0.1 µFR = 50 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 50 Ω 两端，其中 L = 50 mH，C = 0.1 µF。 求中心（谐振）频率 f0，单位为 Hz。

R = 50 ΩL = 50 mHC = 0.1 µF
f0 = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 9))。 求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 9))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: θ = 113.2 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −3, b = 7 → II

参考角

α = atan(7/3) = 66.8°

辐角

θ = 180° − α = 113.2°

答案

θ = 113.2°

极坐标形式为 z = 7.616∠113.2°。

2.复数

答案: Re(z₄) = −1.286

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

641/6 = 2

根的辐角

θ₄ = (−60° + 360°·4)/6 = 230° → −130°

直角坐标形式

z₄ = 2·(cos −130° + j sin −130°) = −1.286 − j1.532
Re(z₄) = −1.286

答案

Re(z₄) = −1.286

6 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 60°。

3.交流阻抗和相量

答案: L = 0.1013 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·10·10⁻⁶) = 0.1013 mH

答案

L = 0.1013 mH
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 572.1 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2·10⁻⁶) = 4767 rad/s
I = V/R = 12/2 = 6 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 4767·0.02 = 95.35 Ω
VL = I·XL = 6·95.35 = 572.1 V

答案

VL = 572.1 V

这是电源电压的 Q = 47.67 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 113.9 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 7·tan(arccos 0.85) = 4.338 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

总计

P = 7 + 20 = 27 kW
Q = 4.338 + 0 = 4.338 kvar
S = √(27² + 4.338²) = 27.35 kVA

总电流

I = S/V = 27346/240 = 113.9 A

答案

I = 113.9 A
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 113.8 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 80·tan(arccos 0.85) = 49.58 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 49.58²) = 193.8 kW

增加的有功功率

ΔP = 193.8 − 80 = 113.8 kW

答案

ΔP = 113.8 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 6.842

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 310985 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 1000/(310985·0.00047) = 6.842

答案

Q = 6.842

带宽为 1/(2πRC) = 7.234 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 1382 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.022·10000 = 1382 Ω

答案

R = 1382 Ω
9.三相电

答案: P = 18.43 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 400 V

相电流

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 400/25 = 16 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·16²·24 = 18.43 kW

答案

P = 18.43 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.96，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 1656 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.72) = 300·0.9639 = 289.2 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 143.9 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 47953/(377·277.1²) = 1656 µF

答案

Cph = 1656 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 12.5 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0.5 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.5² = 12.5 mJ

答案

W(∞) = 12.5 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 7.887 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 10 + (6 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(30) = 10 + (−4)·e−30/47 = 7.887 V

答案

vC = 7.887 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 3.6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 20 = 26 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·15/(10+15) = 3.6 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = −65.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·30/(10+30) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 10 = 17.5 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.5 + (−4)·7.5 = −25.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −25.5 + (−4)·10 = −65.5 V
15.伯德图与裕度

答案: f0 = 2251 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·1 × 10⁻⁷) = 14142 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 2251 Hz

答案

f0 = 2251 Hz
16.伯德图与裕度

答案: K = 83.22

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(4·9) = 6 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 81)) = K/(4·9·(4 + 9)) = K/468

所需增益

468/K = 1015/20 = 5.623
K = 468/5.623 = 83.22

答案

K = 83.22

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