电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = 7 + j8 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 7 + j8
θ = °
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

解 z² + 6z + 25 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 6q = 25
b =
3.交流阻抗和相量中等
120 V200 HzR = 10 ΩC = 22 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
230 V500 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 60 ΩC = 4.7 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR1 = 10 ΩR2 = 60 ΩC = 4.7 µF
|Z| = Ω
5.交流功率和功率因数中等
240 V120 kW, 0.65229 kW, 0.7I

两个负载并联接在 240 V 的单相电源上：一个 20 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载，以及一个 29 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载。 求电源看到的总功率因数 cos φ。

V = 240 VP1 = 20 kW, pf1 = 0.65 滞后P2 = 29 kW, pf2 = 0.7 滞后
cos φ =
6.交流功率和功率因数困难
50 V50 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j5 ΩZL​ = ?

一个 50 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 2 + j5 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 2 + j5 Ω
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V100 Ω470 µH4.7 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 100 Ω，L = 470 µH，C = 4.7 nF。求它的品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 470 µHC = 4.7 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V100 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 100 Ω，谐振频率为 200 kHz，带宽为 5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 100 Ωf0 = 200 kHzBW = 5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M7.5 kW, η = 88%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 7.5 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 7.5 kWη = 88%cos φ = 0.82VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 150 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 10 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 10 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 19.2 V？求 t。

Vs = 24 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 12 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAIs​1 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 36 VIs = 1 AR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 1

求 G(s) = 6120/((s + 17)(s + 18)) 在 ω = 1 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 6120/((s + 17)(s + 18))ω = 1 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 124/(s(s + 2)(s + 9))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 124/(s(s + 2)(s + 9))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = 48.81 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 7, b = 8 → I

参考角

α = atan(8/7) = 48.81°

辐角

θ = α = 48.81°

答案

θ = 48.81°

极坐标形式为 z = 10.63∠48.81°。

2.复数

答案: b = 4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 100 = −64 < 0

求根公式

z = (−6 ± j√64)/2 = −3 + j4, −3 − j4

答案

b = 4

答案

b = 4
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 9.638 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 120/10 = 12 A
IX = V/XC = 120/36.17 = 3.318 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(12² + 3.318²) = 12.45 A

阻抗

|Z| = V/I = 120/12.45 = 9.638 Ω

答案

|Z| = 9.638 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 52.81 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 33.62 − j29.78 Ω

总阻抗

Z = 10 + 33.62 − j29.78 = 43.62 − j29.78 Ω
|Z| = √(43.62² + 29.78²) = 52.81 Ω

答案

|Z| = 52.81 Ω
5.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.6791

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 20·tan(arccos 0.65) = 23.38 kvar
Q2 = 29·tan(arccos 0.7) = 29.59 kvar

总计

P = 20 + 29 = 49 kW
Q = 23.38 + 29.59 = 52.97 kvar
S = √(49² + 52.97²) = 72.16 kVA

总功率因数

cos φ = P/S = 49/72.16 = 0.6791 滞后

答案

cos φ = 0.6791
6.交流功率和功率因数

答案: C = 636.6 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 2 − j5 Ω

电容

XC = 5 Ω → C = 1/(2π·50·5) = 636.6 µF

答案

C = 636.6 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 3.162

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.00047/4.7 × 10⁻⁹) = 316.2 Ω

品质因数

Q = 316.2/100 = 3.162

答案

Q = 3.162

谐振频率为 107.1 kHz，所以 BW = f₀/Q = 33.86 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.1989 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·5000) = 0.003183 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·200000)²·0.003183) = 1.989 × 10⁻¹⁰ F = 0.1989 nF

答案

C = 0.1989 nF

Q = f₀/BW = 40。

9.三相电

答案: IL = 14.46 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 7.5/0.88 = 8.523 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 8523/(√3·415·0.82) = 14.46 A

答案

IL = 14.46 A
10.三相电

答案: QC = 101.8 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.75) = 150·0.8819 = 132.3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.98) = 150·0.2031 = 30.46 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 101.8 kvar

答案

QC = 101.8 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 18 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0.6 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.6² = 18 mJ

答案

W(∞) = 18 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 665.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 24 + (12 − 24)·e−t/τ

求解时间

19.2 = 24 + (−12)·e−t/τ → e−t/τ = (19.2 − 24)/(12 − 24) = 0.4
t = τ·ln((12 − 24)/(19.2 − 24)) = 726·ln(2.5) = 665.2 ms

答案

t = 665.2 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.7463 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.444 + 3 = 7.444 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·10/(8+10) = 5.556 V
IN​0.7463 ARth​7.444 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 5.556/7.444 = 0.7463 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 58 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 30 = 40 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​20 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + 1·10 = 28 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28 + 1·30 = 58 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 25.99 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j1)| = 6120/(√(1² + 17²)·√(1² + 18²)) = 6120/(17.03·18.03) = 19.93

结果

20·log₁₀(19.93) = 25.99 dB

答案

|G(jω)| = 25.99 dB
16.伯德图与裕度

答案: GM = 4.065 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(2·9) = 4.243 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 81)) = K/(2·9·(2 + 9)) = K/198

增益裕度

GM = 20·log₁₀(198/124) = 4.065 dB

答案

GM = 4.065 dB

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