电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

把 z = 6∠140° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 6θ = 140°
a =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

解 z² + 2z + 7.25 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 2q = 7.25
b =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 0.1 µF

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 5000 HzC = 0.1 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
24 V60 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 150 ΩC = 22 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 150 ΩC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
230 V16 kW, 0.65225 kW, 1I = ?

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 6 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载，以及一台 25 kW 的加热器（功率因数为 1）。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP1 = 6 kW, pf1 = 0.65 滞后P2 = 25 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 40 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 40 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 22 nF+−3.6 VL = 22 mHiL​

一个充电到 6 V 的 22 nF 电容器与一个理想的 22 mH 电感振荡。求电容器电压为 3.6 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 22 nFV0 = 6 VvC = 3.6 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 470 nFr = 0.5 ΩL = 47 µH

一个并联谐振回路由一个 470 nF 电容器和一个绕组电阻为 0.5 Ω 的 47 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 47 µHC = 470 nFr = 0.5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M7.5 kW, η = 90%cos φ = 0.9

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 7.5 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.9（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 7.5 kWη = 90%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 75 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 100 ΩL47 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

Vs = 9 VR = 100 ΩL = 47 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 VR1​ = 47 ΩR2​ = 10 Ω在 t = 0 闭合L47 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

Vs = 20 VR1 = 47 ΩR2 = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​1 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 5 VIs = 1 AR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−80−60−40−20020ω (rad/s)ω = 15

求 G(s) = 204/((s + 6)(s + 17)) 在 ω = 15 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 204/((s + 6)(s + 17))ω = 15 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 7))。 求给出 10 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 7))GM = 10 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: a = −4.596

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 6·cos(140°) = −4.596
b = 6·sin(140°) = 3.857

直角坐标形式

z = −4.596 + j3.857
a = −4.596

答案

a = −4.596
2.复数

答案: b = 2.5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 29 = −25 < 0

求根公式

z = (−2 ± j√25)/2 = −1 + j2.5, −1 − j2.5

答案

b = 2.5

答案

b = 2.5
3.交流阻抗和相量

答案: L = 10.13 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0.1·10⁻⁶) = 10.13 mH

答案

L = 10.13 mH
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.195 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 58.88 − j73.25 Ω

总阻抗

Z = 40 + 58.88 − j73.25 = 98.88 − j73.25 Ω
|Z| = √(98.88² + 73.25²) = 123.1 Ω

电流

I = V/|Z| = 24/123.1 = 0.195 A

答案

I = 0.195 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 138.2 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 6·tan(arccos 0.65) = 7.015 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

总计

P = 6 + 25 = 31 kW
Q = 7.015 + 0 = 7.015 kvar
S = √(31² + 7.015²) = 31.78 kVA

总电流

I = S/V = 31784/230 = 138.2 A

答案

I = 138.2 A
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 105.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45.57°) = 40.81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(18.19°) = 13.15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27.66 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 40000/(400·0.95) = 105.3 A

答案

Inew = 105.3 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 253.4 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·2.2 × 10⁻⁸·6² = 3.96 × 10⁻⁷ J

电容器中剩余的能量

½·2.2 × 10⁻⁸·3.6² = 1.426 × 10⁻⁷ J

电感中的能量

WL = 2.534 × 10⁻⁷ J = 253.4 nJ

答案

WL = 253.4 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 0.2 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(4.7 × 10⁻⁷·0.5) = 200 Ω = 0.2 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 20, Q²·r = 200 Ω

答案

RD = 0.2 kΩ
9.三相电

答案: IL = 11.14 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 7.5/0.9 = 8.333 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 8333/(√3·480·0.9) = 11.14 A

答案

IL = 11.14 A
10.三相电

答案: Cph = 521.6 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.78) = 75·0.8023 = 60.17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.92) = 75·0.426 = 31.95 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 28.22 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9407/(314.2·239.6²) = 521.6 µF

答案

Cph = 521.6 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.3258 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0.09 A

求解时间

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −0.47·ln(0.5) = 0.3258 ms

答案

t = 0.3258 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3981 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 20/(47 + 10) = 0.3509 A
i(∞) = 20/47 = 0.4255 A
τ = L/R = 47/47 = 1 ms
i(t) = 0.4255 + (0.3509 − 0.4255)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.4255 + (−0.07465)·e−1/1 = 0.3981 A

答案

i = 0.3981 A
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·8/(8+8) = 6 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 8 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 3 = 6.333 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.667 + 1·3.333 = 5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5 + 1·3 = 8 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = −5.083 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j15)| = 204/(√(15² + 6²)·√(15² + 17²)) = 204/(16.16·22.67) = 0.557

结果

20·log₁₀(0.557) = −5.083 dB

答案

|G(jω)| = −5.083 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 17.71

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(1·7) = 2.646 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 49)) = K/(1·7·(1 + 7)) = K/56

所需增益

56/K = 1010/20 = 3.162
K = 56/3.162 = 17.71

答案

K = 17.71

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