电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

求 z = −3 + j9 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −3 + j9
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 81∠90° 的根。点选它。

w = 81∠90°n = 4
  1. 1A (3∠157.5°)
  2. 2B (3∠−157.5°)
  3. 3C (3∠90°)
  4. 4D (1.5∠−157.5°)
3.交流阻抗和相量中等
12 V100 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
1 Vf0​R = 15 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
230 VZ9 + j12 ΩI

一个阻抗为 Z = 9 + j12 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 230 VZ = 9 + j12 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
400 V60 Hz负载26 kW, 0.7C47 µFI = ?

一个单相负载从 400 V、60 Hz 的电源吸取 26 kW，功率因数为 0.7（滞后）。一个 47 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 26 kWpf1 = 0.7V = 400 Vf = 60 HzC = 47 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.707150 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 50 kHz 谐振，Q = 1.5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 50 kHzQ = 1.5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 2.2 nFr = 10 ΩL = 4.7 mH

一个并联谐振回路由一个 2.2 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 4.7 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 4.7 mHC = 2.2 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 10 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 10 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 10 Acos φ = 0.7
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 6.8 kΩC22 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR1 = 6.8 kΩR2 = 6.8 kΩC = 22 µFt = 30 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 Vt = 120 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAIs​2 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 30 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 10 kΩC = 4.7 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 10 kΩ, C = 4.7 nF。输入为850 Hz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 10 kΩC = 4.7 nFf = 850 Hz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))。 求给出 6 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))GM = 6 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: θ = 108.4 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −3, b = 9 → II

参考角

α = atan(9/3) = 71.57°

辐角

θ = 180° − α = 108.4°

答案

θ = 108.4°

极坐标形式为 z = 9.487∠108.4°。

2.复数

答案: B (3∠−157.5°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 22.5°, 112.5°, −157.5°, −67.5°

该点

B = 3∠−157.5°

答案

B (3∠−157.5°)
3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.3337

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 157.1 Ω, XC = 72.34 Ω

阻抗

|Z| = √(30² + (84.74)²) = 89.89 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 30/89.89 = 0.3337
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.3337
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 2.174 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7·10⁻⁶) = 6523 rad/s
I = V/R = 1/15 = 0.06667 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 6523·0.005 = 32.62 Ω
VL = I·XL = 0.06667·32.62 = 2.174 V

答案

VL = 2.174 V

这是电源电压的 Q = 2.174 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: S = 3527 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 230/15 = 15.33 A

视在功率

S = V·I = 230·15.33 = 3527 VA

答案

S = 3527 VA
6.交流功率和功率因数

答案: I = 87.94 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 26·tan(arccos 0.7) = 26.53 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·47·10⁻⁶ = 2835 var = 2.835 kvar
Q2 = 26.53 − 2.835 = 23.69 kvar

新的视在功率

S2 = √(26² + 23.69²) = 35.17 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 35174/400 = 87.94 A

答案

I = 87.94 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 36.04 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·1.5²)) = 1.054

较低的半功率频率

f1 = 50000·(1.054 − 0.3333) = 36038 Hz = 36.04 kHz

答案

f1 = 36.04 kHz

较高的是 f₂ = 69.37 kHz；检验：f₂ − f₁ = 33.33 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 213.6 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.0047/(2.2 × 10⁻⁹·10) = 213636 Ω = 213.6 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 146.2, Q²·r = 213636 Ω

答案

RD = 213.6 kΩ
9.三相电

答案: P = 4.85 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·10 = 6.928 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 6.928·0.7 = 4.85 kW

答案

P = 4.85 kW
10.三相电

答案: Cph = 3784 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.72) = 250·0.9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 190.2 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 63400/(314.2·230.9²) = 3784 µF

答案

Cph = 3784 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 3.965 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·6.8/(6.8 + 6.8) = 3.4 kΩ
vC(∞) = 24·6.8/(6.8 + 6.8) = 12 V

时间常数

τ = Rth·C = 3.4·22 = 74.8 ms

充电曲线

vC(t) = 12·(1 − e−30/74.8) = 3.965 V

答案

vC = 3.965 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 8.841 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(120) = 10 + (−2)·e−120/220 = 8.841 V

答案

vC = 8.841 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 19 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 15 = 19 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 2.364 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 30 = 36.67 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13.33 + 2·6.667 = 26.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26.67 + 2·30 = 86.67 V
IN​2.364 ARth​36.67 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 86.67/36.67 = 2.364 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = −14.09 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(10000·4.7 × 10⁻⁹) = 21277 rad/s
fc = 3386 Hz → f/fc = 850/3386 = 0.251

相位

φ = − atan(0.251) = −14.09°

答案

φ = −14.09°
16.伯德图与裕度

答案: K = 10.02

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(1·4) = 2 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 16)) = K/(1·4·(1 + 4)) = K/20

所需增益

20/K = 106/20 = 1.995
K = 20/1.995 = 10.02

答案

K = 10.02

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