电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

数 z = 1.5·e^j2.8 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 1.5θ = 2.8 rad

b =

2.复数困难

z³ + 5z² − 4z − 60 = 0 的一个根为 z₁ = −4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −4 + j2

r =

3.交流阻抗和相量中等

一个 L = 5 mH 的 RLC 串联电路必须在 1000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 1000 HzL = 5 mH

C = µF

4.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

5.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 5 + j12 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。求它吸收的有功功率 P。

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω

P = W

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 240 V、60 Hz 的电源吸取 23 kW，功率因数为 0.75（滞后）。一个 220 µF 的电容与负载并联。求新的线路电流 I。

P = 23 kWpf₁ = 0.75V = 240 Vf = 60 HzC = 220 µF

I = A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

一个串联 RLC 电路的 R = 5 Ω，L = 22 mH，C = 220 nF。求它的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 22 mHC = 220 nF

Q =

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个并联谐振回路由一个 470 pF 电容器和一个绕组电阻为 5 Ω 的 22 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 R_D = L/(C·r)。求 R_D，单位 kΩ。

L = 22 mHC = 470 pFr = 5 Ω

R_D = kΩ

9.三相电中等

一个每相阻抗为 12 + j9 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 208 VZ = 12 + j9 Ω 每相

P = kW

10.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 60 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 68 mH

t = ms

12.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 17 V？求 t。

V_s = 10 VR = 2.2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

13.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

14.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

15.伯德图与裕度中等

求 G(s) = 1100/((s + 11)(s + 20)) 在 ω = 8 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 1100/((s + 11)(s + 20))ω = 8 rad/s

|G(jω)| = dB

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 0.7/(s(s + 1))。求增益穿越频率 ω_c，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 0.7/(s(s + 1))

ω_c = rad/s

3溶液

1.复数

答案: b = 0.5025

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 1.5·(cos 2.8 + j sin 2.8)

分量（弧度）

a = 1.5·cos 2.8 = −1.413

b = 1.5·sin 2.8 = 0.5025

b = 0.5025

答案

b = 0.5025

2.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −4 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 2²) = z² + 8z + 20

提取二次因式

z³ + 5z² − 4z − 60 = (z² + 8z + 20)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −8 + 3 = −5 = −(5)。

3.交流阻抗和相量

答案: C = 5.066 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.005) = 5.066 µF

答案

C = 5.066 µF

4.交流阻抗和相量

答案: I = 1.907 A

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (109.7)²) = 120.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/120.6 = 1.907 A

答案

I = 1.907 A

5.交流功率和功率因数

答案: P = 1704 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18.46 A

有功功率

P = I²·R = 18.46²·5 = 1704 W

答案

P = 1704 W

6.交流功率和功率因数

答案: I = 115.6 A

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = 23·tan(arccos 0.75) = 20.28 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4777 var = 4.777 kvar

Q₂ = 20.28 − 4.777 = 15.51 kvar

新的视在功率

S₂ = √(23² + 15.51²) = 27.74 kVA

新的线路电流

I = S₂/V = 27739/240 = 115.6 A

答案

I = 115.6 A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 63.25

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.022/2.2 × 10⁻⁷) = 316.2 Ω

品质因数

Q = 316.2/5 = 63.25

答案

Q = 63.25

谐振频率为 2.288 kHz，所以 BW = f₀/Q = 36.17 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R_D = 9362 kΩ

动态电阻

R_D = 0.022/(4.7 × 10⁻¹⁰·5) = 9.362 × 10⁶ Ω = 9362 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 1368, Q²·r = 9.362 × 10⁶ Ω

答案

R_D = 9362 kΩ

9.三相电

答案: P = 2.307 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = 208/√3 = 120.1 V

相电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 120.1/15 = 8.006 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·8.006²·12 = 2.307 kW

答案

P = 2.307 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: C_ph = 158.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.78) = 60·0.8023 = 48.14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 28.42 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9472/(377·398.4²) = 158.3 µF

答案

C_ph = 158.3 µF

11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.713 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2.4 A

求解时间

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −6.8·ln(0.5) = 4.713 ms

答案

t = 4.713 ms

12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 17.26 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 22 µF = 48.4 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

求解时间

17 = 10 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17 − 10)/(20 − 10) = 0.7

t = τ·ln((20 − 10)/(17 − 10)) = 48.4·ln(1.429) = 17.26 ms

答案

t = 17.26 ms

13.戴维南和诺顿

答案: V_th = 21.18 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 8 = 11.53 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·12/(5+12) = 21.18 V

14.戴维南和诺顿

答案: V_th = 14.42 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·6/(25+6) = 4.839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.839 + 4 = 8.839 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.161 + 1.5·4.839 = 8.419 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8.419 + 1.5·4 = 14.42 V

15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 11.49 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j8)| = 1100/(√(8² + 11²)·√(8² + 20²)) = 1100/(13.6·21.54) = 3.754

结果

20·log₁₀(3.754) = 11.49 dB

答案

|G(jω)| = 11.49 dB

16.伯德图与裕度

答案: ω_c = 0.6002 rad/s

增益穿越

ω⁴ + 1ω² − 0.49 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·0.49))/2 = 0.3602

ω_c = 0.6002 rad/s

答案

ω_c = 0.6002 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

欧拉公式

分量（弧度）

答案

共轭对

提取二次因式

实根

答案

谐振条件

答案

电抗

阻抗

电流

答案

电流

有功功率

答案

补偿前后的无功功率

新的视在功率

新的线路电流

答案

特性阻抗

品质因数

答案

动态电阻

用 Q 检验

答案

相电压

相电流

总有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

每相电容

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

把各模相乘

结果

答案

增益穿越

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

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