电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 3∠−40° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 3θ = −40°
a =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 7z² + 9z + 17 = 0 的一个根为 z₁ = 4 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 4 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
120 V500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
230 V500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
240 V130 kW, 0.723 kW, 0.7I

两个负载并联接在 240 V 的单相电源上：一个 30 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载，以及一个 3 kW、功率因数为 0.7（超前）的负载。 求电源看到的总功率因数 cos φ。

V = 240 VP1 = 30 kW, pf1 = 0.7 滞后P2 = 3 kW, pf2 = 0.7 超前
cos φ =
6.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求所需电容 C。

P = 10 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 1 µF+−12 VL = 100 µHiL​

一个充电到 20 V 的 1 µF 电容器与一个理想的 100 µH 电感振荡。求电容器电压为 12 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 1 µFV0 = 20 VvC = 12 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V20 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 20 Ω，谐振频率为 100 kHz，带宽为 5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 20 Ωf0 = 100 kHzBW = 5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 150 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 150 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 150 Acos φ = 0.7
P = kW
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 60 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 V在 t = 0 断开R1​ = 6.8 kΩR2​ = 4.7 kΩi2​C68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 200 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 6 VR1 = 6.8 kΩR2 = 4.7 kΩC = 68 µFt = 200 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​2.5 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VIs = 2.5 AR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 10 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 8

求 G(s) = 41(s + 12)/(s(s + 6)) 在 ω = 8 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 41(s + 12)/(s(s + 6))ω = 8 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))。 求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: a = 2.298

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 3·cos(−40°) = 2.298
b = 3·sin(−40°) = −1.928

直角坐标形式

z = 2.298 − j1.928
a = 2.298

答案

a = 2.298
2.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 4 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 1²) = z² − 8z + 17

提取二次因式

z³ − 7z² + 9z + 17 = (z² − 8z + 17)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 8 + (−1) = 7 = −(−7)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 57.17 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (31)²) = 36.89 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(31/20) = 57.17°

答案

φ = 57.17°
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 22.47 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (142.6)²) = 148.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/148.1 = 1.553 A

电容电压

VC = I·XC = 1.553·14.47 = 22.47 V

答案

VC = 22.47 V
5.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.7677

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 30·tan(arccos 0.7) = 30.61 kvar
Q2 = −3·tan(arccos 0.7) = −3.061 kvar

总计

P = 30 + 3 = 33 kW
Q = 30.61 + (−3.061) = 27.55 kvar
S = √(33² + 27.55²) = 42.99 kVA

总功率因数

cos φ = P/S = 33/42.99 = 0.7677 滞后

答案

cos φ = 0.7677
6.交流功率和功率因数

答案: C = 546 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(53.13°) = 13.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(23.07°) = 4.26 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.073 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 9073/(2π·50·230²) = 546 µF

答案

C = 546 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 128 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁶·20² = 0.0002 J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁶·12² = 7.2 × 10⁻⁵ J

电感中的能量

WL = 0.000128 J = 128 µJ

答案

WL = 128 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 3.979 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·5000) = 0.0006366 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·100000)²·0.0006366) = 3.979 × 10⁻⁹ F = 3.979 nF

答案

C = 3.979 nF

Q = f₀/BW = 20。

9.三相电

答案: P = 87.3 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·150 = 124.7 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 124.7·0.7 = 87.3 kW

答案

P = 87.3 kW
10.三相电

答案: QC = 27.36 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.75) = 60·0.8819 = 52.92 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 27.36 kvar

答案

QC = 27.36 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5179 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 10/15 = 0.6667 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.6667·(1 − e−1/0.6667) = 0.5179 A

答案

i = 0.5179 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.279 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 6·4.7/(6.8 + 4.7) = 2.452 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 4.7·68 = 319.6 ms

放电

vC(t) = 2.452·e−200/319.6 = 1.312 V
i2 = vC/R2 = 1.312/4.7 = 0.279 mA

答案

i2 = 0.279 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.8197 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.609 + 8 = 10.61 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·20/(3+20) = 8.696 V
IN​0.8197 ARth​10.61 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 8.696/10.61 = 0.8197 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.475 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 8 = 10 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.5 + 2.5·2 = 9.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9.5 + 2.5·8 = 29.5 V
Rth​ = 10 Ω+−Vth​29.5 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 29.5/(10 + 10) = 1.475 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −109.4 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(8/12) − 90° − atan(8/6) = 33.69° − 90° − 53.13°

结果

∠G(j8) = −109.4°

答案

∠G(jω) = −109.4°
16.伯德图与裕度

答案: K = 54.77

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

所需增益

308/K = 1015/20 = 5.623
K = 308/5.623 = 54.77

答案

K = 54.77

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