电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

求 z = −9 − j3 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −9 − j3

θ = °

2.复数困难

方程 z² + 4z + 20 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = 4q = 20

|z| =

3.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 1 µF

φ = °

4.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_C = V

5.交流功率和功率因数中等

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 13.5 A 和 1377 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。求 X。

V = 120 VI = 13.5 AP = 1377 W

X = Ω

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 400 V、60 Hz 的电源吸取 5 kW，功率因数为 0.7（滞后）。一个 68 µF 的电容与负载并联。求新的线路电流 I。

P = 5 kWpf₁ = 0.7V = 400 Vf = 60 HzC = 68 µF

I = A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

一个串联 RLC 电路的 R = 100 Ω，L = 1 mH，C = 47 pF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 100 ΩL = 1 mHC = 47 pF

BW = kHz

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个串联 RLC 电路（R = 10 Ω，L = 22 mH，C = 4.7 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 100 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 E_cycle，单位 µJ。

R = 10 ΩL = 22 mHC = 4.7 nFI_m = 100 mA

E_cycle = µJ

9.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 100 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 400 VI_L = 100 Acos φ = 0.7

P = kW

10.三相电困难

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 100 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 24 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

12.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 10 ms 时的电感电流 i。

V_s = 20 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

13.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

14.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 9 VI_s = 2.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

15.伯德图与裕度中等

图中所示的RL 低通滤波器有R = 100 Ω, L = 2.2 mH。输入为29 kHz的正弦信号。求增益 |H| = |v_out/v_in|，以 dB 表示。

R = 100 ΩL = 2.2 mHf = 29 kHz

|H| = dB

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 22/(s(s + 1)(s + 6))。求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 22/(s(s + 1)(s + 6))

GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = −161.6 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −9, b = −3 → III

参考角

α = atan(3/9) = 18.43°

辐角

θ = −(180° − α) = −161.6°

答案

θ = −161.6°

极坐标形式为 z = 9.487∠−161.6°。

2.复数

答案: |z| = 4.472

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 16 − 80 = −64 < 0

求根公式

z = (−4 ± j√64)/2 = −2 + j4, −2 − j4

答案

|z| = √((−2)² + 4²) = √20 = 4.472

答案

|z| = 4.472

3.交流阻抗和相量

答案: φ = −58.19 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−161.2)²) = 189.7 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−161.2/100) = −58.19°

答案

φ = −58.19°

4.交流阻抗和相量

答案: V_C = 51.23 V

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (155)²) = 155.3 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/155.3 = 0.3219 A

电容电压

V_C = I·X_C = 0.3219·159.2 = 51.23 V

答案

V_C = 51.23 V

5.交流功率和功率因数

答案: X = 4.683 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1377/13.5² = 7.556 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/13.5 = 8.889 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(8.889² − 7.556²) = 4.683 Ω

答案

X = 4.683 Ω

6.交流功率和功率因数

答案: I = 12.75 A

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = 5·tan(arccos 0.7) = 5.101 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·68·10⁻⁶ = 4102 var = 4.102 kvar

Q₂ = 5.101 − 4.102 = 0.9994 kvar

新的视在功率

S₂ = √(5² + 0.9994²) = 5.099 kVA

新的线路电流

I = S₂/V = 5099/400 = 12.75 A

答案

I = 12.75 A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 15.92 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 100/0.001 = 100000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 100000/(2π) = 15915 Hz = 15.92 kHz

答案

BW = 15.92 kHz

当 f₀ = 734.1 kHz 时，得到 Q = 46.13。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: E_cycle = 3.195 µJ

储存的能量

W = ½·0.022·0.1² = 0.00011 J

品质因数

Q = (1/10)·√(0.022/4.7 × 10⁻⁹) = 216.4

每周期损失的能量

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0.00011/216.4 = 3.195 × 10⁻⁶ J = 3.195 µJ

校核: ½·0.1²·10/15652 = 3.195 × 10⁻⁶ J

答案

E_cycle = 3.195 µJ

9.三相电

答案: P = 48.5 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·400·100 = 69.28 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 69.28·0.7 = 48.5 kW

答案

P = 48.5 kW

10.三相电

答案: Q_C = 63.52 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.72) = 100·0.9639 = 96.39 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63.52 kvar

答案

Q_C = 63.52 kvar

11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 2.039 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0.44 ms

i(∞) = V_s/R = 24/50 = 0.48 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.48·(1 − e^−1/0.44) = 0.4305 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·0.4305² = 2.039 mJ

答案

W = 2.039 mJ

12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.9549 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 20/(20 + 10) = 0.6667 A

i(∞) = 20/20 = 1 A

τ = L/R = 100/20 = 5 ms

i(t) = 1 + (0.6667 − 1)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(10) = 1 + (−0.3333)·e^−10/5 = 0.9549 A

答案

i = 0.9549 A

13.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.2961 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·3/(20+3) = 2.609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.609 + 4 = 6.609 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·3/(20+3) = 1.957 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 1.957/6.609 = 0.2961 A

14.戴维南和诺顿

答案: P_L = 21.49 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 30 = 31.76 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.941 + (−2.5)·1.765 = 3.529 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 3.529 + (−2.5)·30 = −71.47 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −71.47/(31.76 + 6) = −1.893 A

P_L = I_L²·R_L = −1.893²·6 = 21.49 W

15.伯德图与裕度

答案: |H| = −12.32 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ω_c = R/L = 100/0.0022 = 45455 rad/s

f_c = 7234 Hz → f/f_c = 29000/7234 = 4.009

增益

|H| = 1/√(1 + 4.009²) = 0.242

20·log₁₀(0.242) = −12.32 dB

答案

|H| = −12.32 dB

16.伯德图与裕度

答案: GM = 5.617 dB

相位穿越

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·6) = 2.449 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 36)) = K/(1·6·(1 + 6)) = K/42

增益裕度

GM = 20·log₁₀(42/22) = 5.617 dB

答案

GM = 5.617 dB

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电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

象限

参考角

辐角

答案

判别式

求根公式

答案

答案

电抗

阻抗

相角

答案

电抗

阻抗

电流

电容电压

答案

由有功功率求电阻

由阻抗求电抗

答案

补偿前后的无功功率

新的视在功率

新的线路电流

答案

以 rad/s 表示的带宽

以 Hz 表示的带宽

答案

储存的能量

品质因数

每周期损失的能量

答案

视在功率

有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

转折频率

增益

答案

相位穿越

相位穿越处的幅值

增益裕度

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th