电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 2∠−155° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 2θ = −155°
b =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

解 z² + 8z + 20 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 8q = 20
a =
3.交流阻抗和相量中等
50 V100 HzR = 15 ΩC = 100 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
12 Vf0​R = 5 ΩL = 10 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 4.7 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 11 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 11 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 11 kWpf = 0.6V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 5 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 5 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V100 Ω10 mH470 pF

一个串联 RLC 电路的 R = 100 Ω，L = 10 mH，C = 470 pF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 100 ΩL = 10 mHC = 470 pF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?100 mHC

一个串联谐振电路使用 100 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 5 kHz？

L = 100 mHBW = 5 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 50 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 50 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 50 Acos φ = 0.7
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 20 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 24 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 20 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 3.3 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 80 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 6 VR = 3.3 kΩC = 68 µFvC(0) = 3 Vt = 80 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VIs = 0.5 AR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 4.7 kΩC = 4.7 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 4.7 kΩ, C = 4.7 nF。输入为3.6 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 4.7 kΩC = 4.7 nFf = 3.6 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 158/(s(s + 5)(s + 9))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 158/(s(s + 5)(s + 9))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: b = −0.8452

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2·cos(−155°) = −1.813
b = 2·sin(−155°) = −0.8452

直角坐标形式

z = −1.813 − j0.8452
b = −0.8452

答案

b = −0.8452
2.复数

答案: a = −4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 64 − 80 = −16 < 0

求根公式

z = (−8 ± j√16)/2 = −4 + j2, −4 − j2

答案

a = −4

答案

a = −4
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 10.92 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 50/15 = 3.333 A
IX = V/XC = 50/15.92 = 3.142 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(3.333² + 3.142²) = 4.58 A

阻抗

|Z| = V/I = 50/4.58 = 10.92 Ω

答案

|Z| = 10.92 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 110.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7·10⁻⁶) = 4613 rad/s
I = V/R = 12/5 = 2.4 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 4613·0.01 = 46.13 Ω
VL = I·XL = 2.4·46.13 = 110.7 V

答案

VL = 110.7 V

这是电源电压的 Q = 9.225 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 76.39 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 11000/(240·0.6) = 76.39 A

答案

I = 76.39 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 61.17 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(36.87°) = 3.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(25.84°) = 2.422 kvar
QC = Q1 − Q2 = 1.328 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 1328/(2π·60·240²) = 61.17 µF

答案

C = 61.17 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 1.592 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 100/0.01 = 10000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1.592 kHz

答案

BW = 1.592 kHz

当 f₀ = 73.41 kHz 时，得到 Q = 46.13。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 3142 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.1·5000 = 3142 Ω

答案

R = 3142 Ω
9.三相电

答案: P = 24.25 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·50 = 34.64 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 34.64·0.7 = 24.25 kW

答案

P = 24.25 kW
10.三相电

答案: Cph = 1060 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.72) = 250·0.9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 190.2 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 63400/(377·398.4²) = 1060 µF

答案

Cph = 1060 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.267 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2.4 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−20/6.8 = 1.267 V

答案

vL = 1.267 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 3.9 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms
vC(t) = 6 + (3 − 6)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(80) = 6 + (−3)·e−80/224.4 = 3.9 V

答案

vC = 3.9 V
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.3947 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.286 + 12 = 16.29 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·15/(6+15) = 6.429 V
IN​0.3947 ARth​16.29 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6.429/16.29 = 0.3947 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 15.7 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 25 = 29 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.2 + 0.5·4 = 3.2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3.2 + 0.5·25 = 15.7 V
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.9679 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(4700·4.7 × 10⁻⁹) = 45269 rad/s
fc = 7205 Hz → f/fc = 3600/7205 = 0.4997

增益

|H| = 1/√(1 + 0.4997²) = 0.8945
20·log₁₀(0.8945) = −0.9679 dB

答案

|H| = −0.9679 dB
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 6.708 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/5)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(5·9) = 6.708 rad/s

答案

ω180 = 6.708 rad/s

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